a) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku

Zauważmy, że kąt wpisany ADB i kąt środkowy ASB są oparte na tym samym łuku, więc kąt ASB ma miarę dwukrotnie większą od kąta ADB, czyli

$\left|\sphericalangle ASB\right|=2\cdot {52}^{\circ }={104}^{\circ }$   

Rozważmy trójkąt ASB.

Zauważmy, że jest to trójkąt równoramienny, ponieważ

$\left|AS\right|=\left|BS\right|=r$

więc

$\left|\sphericalangle ABS\right|=\gamma$

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy

$2\gamma +104={180}^{\circ }$

$2\gamma ={76}^{\circ }$

$\gamma ={38}^{\circ }$  

Zwróćmy uwagę, że 

$\left|\sphericalangle BSC\right|={130}^{\circ }-\left|\sphericalangle ASB\right|={130}^{\circ }-{104}^{\circ }={26}^{\circ }$  

Zauważmy, że kąt środkowy BSC i kąt wpisany 𝛼 są oparte na tym samym łuku, więc kąt 𝛼 ma miarę dwukrotnie mniejszą od kąta BSC, czyli

$\alpha =\frac{1}{2}\cdot {26}^{\circ }={13}^{\circ }$

Zauważmy, że kąt środkowy ASC i kąt wpisany 𝛽 są oparte na tym samym łuku, więc kąt 𝛽 ma miarę dwukrotnie mniejszą od kąta ASC, czyli

$\beta =\frac{1}{2}\cdot {130}^{\circ }={65}^{\circ }$

 

Odp.  $\alpha ={13}^{\circ },\beta ={65}^{\circ },\gamma ={38}^{\circ }$

---

b) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym obrazku:

 

Rozważmy trójkąt ABD.

Zauważmy, że trójkąt ABD jest oparty na średnicy BD więc jest to trójkąt prostokątny, czyli 

$\left|\sphericalangle DAB\right|={90}^{\circ }$

skąd dostajemy, że

$\alpha ={90}^{\circ }-{20}^{\circ }={70}^{\circ }$

Korzystając  z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy 

$\left|\sphericalangle ADB\right|={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+{26}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{116}^{\circ }={64}^{\circ }$

Zauważmy, że kąty wpisane ADB i γ są oparte na tym samym łuku, czyli mają równe miary. 

Zatem

$\gamma ={64}^{\circ }$

Rozważmy trójkąt ABC. 

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy  

${20}^{\circ }+{26}^{\circ }+\left|\sphericalangle DBC\right|+\gamma ={180}^{\circ }$

${46}^{\circ }+\left|\sphericalangle DBC\right|+{64}^{\circ }={180}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle DBC\right|={70}^{\circ }$

Zauważmy, że kąt środkowy  𝛽 i kąt wpisany DBC są oparte na tym samym łuku, czyli kąt 𝛽 jest dwa razy większy od kąta DBC. 

Zatem 

$\beta =2\cdot {70}^{\circ }={140}^{\circ }$

 

Odp.  $\alpha ={70}^{\circ },\beta ={140}^{\circ },\gamma ={64}^{\circ }$  

---

c) Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Zauważmy, że kąt wpisany ACD i kąt środkowy 𝛼 są oparte na tym samym łuku, czyli kąt 𝛼 jest dwa razy większy od kąta ACD, czyli 

$\alpha =2\cdot {53}^{\circ }={106}^{\circ }$

Zwróćmy uwagę, że trójkąt BCD jest oparty na średnicy BD, więc jest to trójkąt prostokątny, w którym:

$\left|\sphericalangle BCD\right|={90}^{\circ }$

skąd dostajemy, że 

$\beta ={90}^{\circ }-{53}^{\circ }={37}^{\circ }$

Zauważmy, że 

$\left|\sphericalangle AEB\right|=\left|\sphericalangle CED\right|={95}^{\circ }$

(jako kąty wierzchołkowe)

Rozważmy trójkąt ECD.

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy  

$\left|\sphericalangle EDC\right|={180}^{\circ }-\left({95}^{\circ }+{53}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{148}^{\circ }={32}^{\circ }$

Rozważmy trójkąt ASD.

Zauważmy, że jest to trójkąt równoramienny ponieważ

$\left|AS\right|=\left|DS\right|=r$

więc korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy  

$\left|\sphericalangle DAS\right|=\left|\sphericalangle ADS\right|=\left({180}^{\circ }-{106}^{\circ }\right):2={37}^{\circ }$

Rozważmy trójkąt ACD.

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° dostajemy  

$\gamma +{53}^{\circ }+{32}^{\circ }+{37}^{\circ }+{37}^{\circ }={180}^{\circ }$

$\gamma +{159}^{\circ }={180}^{\circ }$

$\gamma ={21}^{\circ }$

 

Odp.  $\alpha ={106}^{\circ },\beta ={37}^{\circ },\gamma ={21}^{\circ }$