Dana jest nierówność

${\left(3x+4\right)}^7\left(x^2+\sqrt{2}x+\sqrt{2}\right)\left(m-2x\right)>0$  

 

Zauważmy, że po wymnożeniu wyrażeń z nawiasów otrzymamy ujemny współczynnik przy najwyższej potędze. 

Zatem podana nierówność nie będzie miała rozwiązania, gdy dla każdego x będzie zachodzić 

$W\left(x\right)\le 0$

czyli gdy wielomian W(x) będzie mieć wyłącznie pierwiastki parzystokrotne. 

 

Znajdziemy pierwiastki wielomianu

${\left(3x+4\right)}^7\left(x^2+\sqrt{2}x+\sqrt{2}\right)\left(m-2x\right)=0$

$3x+4=0\text{lub}{x}^2+\sqrt{2}x+\sqrt{2}=0\text{lub}m-2x=0$  

 

Rozwiązując pierwsze równanie dostajemy 

$3x+4=0$

$x=-\frac{4}{3}$  

zauważmy, że jest to pierwiastek siedmiokrotny. 

 

Rozwiązując drugie równanie dostajemy 

$x^2+\sqrt{2}x+\sqrt{2}=0$     

$\Delta ={\sqrt{2}}^2-4\cdot 1\cdot \sqrt{2}=2-4\sqrt{2}<0$

równanie nie ma rozwiązania. 

 

Rozwiązując trzecie równanie dostajemy 

$m-2x=0$

$x=\frac{m}{2}$

zauważmy, że jest to pierwiastek jednokrotny. 

 

Zauważmy, że wielomian W(x) będzie mieć wyłącznie pierwiastki parzystokrotne, gdy 

$\frac{m}{2}=-\frac{4}{3}\mid \cdot 2$

$m=-\frac{8}{3}$