7 szkoły podstawowej

Matematyka z kluczem 7

Matematyka

Ze składników podanych w zadaniu 6 na stronie 10 można zrobić 12 babeczek.&nbsp; &nbsp; a) Zastanówmy się, ile potrzebujemy składników na 18 babeczek [przepis dotyczy 12 babeczek, a my potrzebujemy przygotować 18]. Ilość babeczek jest wprost proporcjonalna do ilości poszczególnych składników. Jeżeli liczbę babeczek zwiększamy 1,5 razy (bo 18 to 1,5 razy więcej niż 12; 12&nbsp;∙&nbsp;1,5=18), to ilość potrzebnych składników także&nbsp;zwiększy się 1,5 razy. Stąd:&nbsp; → masło:   1,5⋅200 g=213​⋅200100 g=300 g &nbsp; → gorzka czekolada:   1,5⋅320 g=213​⋅320160 g=480 g &nbsp;

Z podanych składników można zrobić 12 racuchów.&nbsp; &nbsp; a) Zastanawiamy się, ile potrzebujemy składników na 30 racuchów. Ilość racuchów jest wprost proporcjonalna do ilości poszczególnych składników. Jeżeli liczbę racuchów zwiększamy 2,5 razy (12∙2,5=30), to masę każdego ze składników także musimy zwiększyć 2,5 razy.&nbsp;Stąd:&nbsp; → dynia:   2,5⋅200 g=215​⋅200100 g=500 g &nbsp; Odp.: Aby upiec 30 racuchów potrzeba 500 g dyni. &nbsp; b) Zastanawiamy się, ile upieczemy racuchów mają 5 szklanek mąki. Ilość racuchów jest wprost proporcjonalna do ilości poszczególnych składników. Jeżeli liczbę szklanek mąki zwiększamy 10 razy (1/2∙10=5), to ilość upieczonych racuchów także zwiększy się 10 razy, stąd: 12⋅10=120 &nbsp; Odp.: Wykorzystując 5 szklanek mąki upieczemy 120 racuchów.

Woda królewska to mieszania kwasu solnego i kwasu azotowego w stosunku 3:1. Chcemy uzyskać 100 cm3 wody królewskiej. Aby dokonać podziału w stosunku 3:1 musimy podzielić całość, w tym przypadku 100 cm3,&nbsp;na 4 równe części (3+1=4).

Rysujemy odcinek i dzielimy go w stosunku 2:3:6.
Zauważmy, że aby dokonać podziału, musimy odcinek podzielić na 11 części.

Na rysunku znajduje się 1 trójkąt równoboczny ABC.
 Każda z wysokości dzieli trójkąt równoboczny na 2 trójkąty prostokątne.
Mamy więc 6 (2 ∙ 3 = 6) dużych trójkątów prostokątnych:

Zauważmy, że trójkąt AFC można podzielić odcinkiem AS oraz odcinkiem ES na&nbsp;trzy przystające trójkąty prostokątne: AFS, ASE oraz ESC.

Rysunek pomocniczy: <img class="img-responsive img-thumbnail dropzone-img" src="https://prod.odrabiamy-assets.pl/uploads/content_image/image/183936/m%2BzqU6Rhf7wAJ30/SGit8A%3D%3D_c9ee3ed2fd9192878c6c5502cfc31ac8afa406268ae823085fb32602be68b0fd.jpg" width="255" height="186"> Przyjmijmy takie oznaczenia, jak na rysunku. Odcinek zaznaczony kolorem czerwonym jest wysokością obu trójkątów. Pole trójkąta PRN jest 4 razy większe od pola trójkąta PMR. PΔPRN​=4⋅PΔPMR​          (⋆) &nbsp; Korzystając ze wzoru na pole trójkąta zapisujemy: PΔPRN​=2∣RN∣⋅∣PA∣​ &nbsp; PΔPMR​=2∣MR∣⋅∣PA∣​ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Podstawiając równości do wzoru z gwiazdką otrzymujemy: 2∣RN∣⋅∣PA∣​=4⋅2∣MR∣⋅∣PA∣​          ∣⋅2 &nbsp; ∣RN∣⋅∣PA∣=4⋅∣MR∣⋅∣PA∣           ∣:∣PA∣ &nbsp; Możemy dzielić przez |PA|, ponieważ |PA|≠0. &nbsp;&nbsp; ∣RN∣=4⋅∣MR∣ &nbsp; Odcinek RN jest 4 razy dłuższy od odcinka MR. Oznacza to, że stosunek długości odcinka MR i RN wynosi 1 : 4.

Z zadania 2 wiemy, że stosunek pól trójkątów AFS i ASC wynosi 1:2.
Pole trójkąta ASC jest więc 2 razy większe od pola trójkąta AFS.

Rozpatrujemy trójkąt ADC. Odcinek CS dzieli go na dwa trójkąty: SDC oraz ASC.
Na podstawie zdania 2 wnioskujemy, że stosunek pól trójkątów SDC i ASC wynosi 1:2.

Analogicznie, jak w zadaniu 5 możemy wywnioskować, że punkt S dzieli&nbsp;odcinek EB na dwa odcinki ES i SB w stosunku 1:2.

Komentarze