a) Dzielimy wielomian w przez dwumian q(x)=x+4.

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x+4\right)=x^2+x-2$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²+x-2:

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9,\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3$  

$x_1=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Pierwiastkami wielomianu w są liczby:

$-4,-2,1$  

Zatem:

$w\left(x\right)=\left(x+4\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)$  

---

b) Dzielimy wielomian w przez dwumian q(x)=x-1.

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x-1\right)=x^2+3x+1$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²+3x+1:

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5,\sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$  

$x_1=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$  

$x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$  

Pierwiastkami wielomianu w są liczby:

$\frac{-3-\sqrt{5}}{2},\frac{-3+\sqrt{5}}{2},1$  

Zatem:

$w\left(x\right)=\left(x+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\left(x-1\right)$  

---

c) Dzielimy wielomian w przez dwumian q(x)=x+2.

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x+2\right)=x^2-3x-4$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²-3x-4:

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25,\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$  

$x_1=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Pierwiastkami wielomianu w są liczby:

$-2,-1,4$  

Zatem:

$w\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-4\right)$  

---

d) Dzielimy wielomian w przez dwumian q(x)=x-3.

Otrzymujemy:

$w\left(x\right):\left(x-3\right)=x^2-x-6$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²-x-6:

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25,\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$  

$x_1=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_1=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Pierwiastkami wielomianu w są liczby:

$-2,3$  

Zatem:

$w\left(x\right)=\left(x+2\right){\left(x-3\right)}^2$