Dla jakich wartości parametru a suma...- Zadanie 10: MATeMAtyka 2. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) x^{2} + (a + 2) x + 1 = 0$

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy:

$(1) Δ > 0$

$(a + 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 > 0$

$(a + 2)^{2} > 4 ∣$

$∣ a + 2 ∣ > 2$

$a + 2 > 2 lub a + 2 < - 2$

$a > 0 lub a < - 4$

$a \in (- \infty, - 4) \cup (0, + \infty)$

Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków x₁, x₂ równania jest równa 6, gdy:

$(2) \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = 6$

$\frac{x _{2}}{x _{1} x _{2}} + \frac{x _{1}}{x _{1} x _{2}} = 6$

$\frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = 6$

Korzystamy ze wzorów Viete'a.

$\frac{- ( a + 2 )}{1} = 6$

$- (a + 2) = 6 ∣ \cdot (- 1)$

$a + 2 = - 6$

$a = - 8$

Równanie ma dwa pierwiastki, których suma odwrotności jest równa 6, gdy jednocześnie są spełnione warunki (1) i (2):

$(1) a \in (- \infty, - 4) \cup (0, + \infty) i (2) a = - 8$

$\underline{a = - 8}$

$b) x^{2} - 6 (a - 3) x + a - 3 = 0$

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy:

$(1) Δ > 0$

$[- 6 (a - 3)]^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (a - 3) > 0$

$36 (a - 3)^{2} - 4 (a - 3) > 0 ∣ : 4$

$9 (a - 3)^{2} - (a - 3) > 0$

$(a - 3) [9 (a - 3) - 1] > 0$

$(a - 3) (9 a - 27 - 1) > 0$

$(a - 3) (9 a - 28) > 0 ∣ : 9$

$(a - 3) (a - \frac{28}{9}) > 0$

$a \in (- \infty, 3) \cup (\frac{28}{9}, + \infty)$

Suma odwrotności dwóch różnych pierwiastków x₁, x₂ równania jest równa 6, gdy:

$(2) \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = 6$

$\frac{x _{2}}{x _{1} x _{2}} + \frac{x _{1}}{x _{1} x _{2}} = 6$

$\frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = 6$

Korzystamy ze wzorów Viete'a.

$\frac{6 ( a - 3 )}{a - 3} = 6$

$6 = 6$

Równanie jest tożsamościowe.

$a \in R$

Równanie ma dwa pierwiastki, których suma odwrotności jest równa 6, gdy jednocześnie są spełnione warunki (1) i (2):

$(1) a \in (- \infty, 3) \cup (\frac{28}{9}, + \infty) i (2) a \in R$

$\underline{a \in (- \infty, 3) \cup (\frac{28}{9}, + \infty)}$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Równania z wartością bezwzględną

Premium

11:02

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania kwadratowe

13:14

Zobacz lekcję

Własności funkcji kwadratowej

15:15

Zobacz lekcję

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.