${\log }_n\left(\sqrt{3}+1\right)-{\log }_n\left(\sqrt{3}-1\right)>1$  

Zał:  $n>0,n\ne 1$  

 

Zatem mamy:

${\log }_n\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}>1$  

${\log }_n\frac{{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2}{{\sqrt{3}}^2-1^2}>1$  

${\log }_n\frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1}>1$  

${\log }_n\frac{4+2\sqrt{3}}{2}>1$  

${\log }_n\left(2+\sqrt{3}\right)>1$  

${\log }_n\left(2+\sqrt{3}\right)>{\log }_{n}n$  

Zakładamy, że  $n>1$   (odpowiedzi sugerują, iż n>2).

$2+\sqrt{3}>n$  

 

Zauważmy, że:

$2+\sqrt{3}\approx 2+1,73=3,73$  

Zatem nierówność jest prawdziwa dla  $n=3$  

 

Odp. D