$\text{a)}$  

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że: 

$P_{◯}=4\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$  

$\pi r^2=4\pi$  

$r^2=4$  

$r=2$  

 

Wyznaczmy miarę kąta AOB.

$\left|\sphericalangle AOB\right|=\frac{{360}^{\circ }}{8}={45}^{\circ }$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

${\left(\frac{1}{2}\left|AB\right|\right)}^2+r^2=R^2$  

$\frac{1}{4}{\left|AB\right|}^2+4=R^2$  

$\frac{1}{4}{\left|AB\right|}^2=R^2-4$  

${\left|AB\right|}^2=4R^2-16$  

Korzystając z tw. cosinusów mamy:

${\left|AB\right|}^2=R^2+R^2-2\cdot R\cdot R\cdot \cos {45}^{\circ }$  

$4R^2-16=2R^2-2R^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$4R^2-16=2R^2-\sqrt{2}{R}^2$  

$2R^2+\sqrt{2}{R}^2=16$  

$R^2\left(2+\sqrt{2}\right)=16$  

$R^2=\frac{16}{2+\sqrt{2}}$  

$R^2=\frac{16\left(2-\sqrt{2}\right)}{2^2-{\sqrt{2}}^2}$  

$R^2=\frac{16\left(2-\sqrt{2}\right)}{4-2}$  

$R^2=8\left(2-\sqrt{2}\right)$  

$R^2=16-8\sqrt{2}$  

$R=\sqrt{16-8\sqrt{2}}$  

 

Zatem otrzymujemy:

$P_{ABO}=\frac{1}{2}\cdot R\cdot R\cdot \sin {45}^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \left(16-8\sqrt{2}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\left(8-4\sqrt{2}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}-4$  

Wyznaczmy pole tego ośmiokąta. Zauważmy, że ośmiokąt ten składa się z ośmiu trójkątów przystających do trójkąta ABO.

$P_{ABCDEFGH}=8\cdot P_{ABO}=8\cdot \left(4\sqrt{2}-4\right)=32\left(\sqrt{2}-1\right)\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

$\text{b)}$  

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że kąt AGE to kąt prosty (trójkąt AGE jest oparty na średnicy tego okręgu).

$2^2+2^2={\left(2R\right)}^2$  

$4+4=4R^2$  

$8=4R^2$  

$2=R^2$  

$\sqrt{2}=R$  

 

Zatem otrzymujemy:

$P_{ABO}=\frac{1}{2}\cdot R\cdot R\cdot \sin {45}^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot {\sqrt{2}}^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Wyznaczmy pole tego ośmiokąta. Zauważmy, że ośmiokąt ten składa się z ośmiu trójkątów przystających do trójkąta ABO.

$P_{ABCDEFGH}=8\cdot P_{ABO}=8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\left[{\text{cm}}^2\right]$