Dowód przypadku II

 

Trójkąt OPB jest równoramienny.

$\left|\sphericalangle OPB\right|=\left|\sphericalangle PBO\right|=\beta$

$\left|\sphericalangle BOP\right|=180-\alpha$

 

Suma kątów w trójkącie musi się dopełniać do kąta półpełnego:

$\left|\sphericalangle OPB\right|+\left|\sphericalangle PBO\right|+\left|\sphericalangle BOP\right|={180}^o$  

$\beta +\beta +180-\alpha ={180}^o$

$2\beta -\alpha =0$

$2\beta =\alpha$

Koniec dowodu.

 

Dowód przypadku III

Trójkąt OPB jest równoramienny.

$\left|\sphericalangle OPB\right|=\left|\sphericalangle PBO\right|={\beta }_1+\beta$

$\left|\sphericalangle BOP\right|=180-\left(\alpha +{\alpha }_1\right)$      

 

Suma kątów w trójkącie musi się dopełniać do kąta półpełnego:

$\left|\sphericalangle OPB\right|+\left|\sphericalangle PBO\right|+\left|\sphericalangle BOP\right|={180}^o$

${\beta }_1+\beta +{\beta }_1+\beta +{180}^o-\alpha -{\alpha }_1={180}^o$

$2{\beta }_1+2\beta =\alpha +{\alpha }_1$

$2\left(\beta +{\beta }_1\right)=\alpha +{\alpha }_1$

Koniec dowodu.