$\text{a)}$  

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =2,4$  

$\frac{a}{b}=\frac{24}{10}$  

$a=\frac{12}{5}b$  

oraz

$a+b+c=60$  

$\frac{12}{5}b+b+c=60$  

$\frac{17}{5}b+c=60$  

$c=60-\frac{17}{5}b$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

$a^2+b^2=c^2$  

${\left(\frac{12}{5}b\right)}^2+b^2={\left(60-\frac{17}{5}b\right)}^2$  

$\frac{144}{25}{b}^2+b^2=3600-2\cdot 60\cdot \frac{17}{5}b+\frac{289}{25}{b}^2$  

$\frac{169}{25}{b}^2=3600-408b+\frac{289}{25}{b}^2$  

$0=\frac{120}{25}{b}^2-408b+3600$  

$0=\frac{24}{5}{b}^2-408b+3600\mid :24$  

$0=\frac{1}{5}{b}^2-17b+150$  

$\Delta ={\left(-17\right)}^2-4\cdot \frac{1}{5}\cdot 150=289-120=169$  

$b_1=\frac{17-13}{2\cdot \frac{1}{5}}=\frac{4}{\frac{2}{5}}=4\cdot \frac{5}{2}=10$  

$b_2=\frac{17+13}{2\cdot \frac{1}{5}}=\frac{30}{\frac{2}{5}}=30\cdot \frac{5}{2}=75>L_{ABC}\text{sprzecznosˊcˊ}$  

 

Zatem otrzymujemy:

$b=10$  

$a=\frac{12}{5}b=\frac{12}{5}\cdot 10=24$  

$c=60-\frac{17}{5}b=60-\frac{17}{5}\cdot 10=60-34=26$  

---

$\text{b)}$  

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$P=4\sqrt{2}$  

$\frac{1}{2}ab=4\sqrt{2}$  

$ab=8\sqrt{2}$  

$b=\frac{8\sqrt{2}}{a}$  

 

$\sin \alpha =\frac{1}{3}$  

$\frac{a}{c}=\frac{1}{3}$  

$3a=c$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

$a^2+b^2=c^2$  

$a^2+{\left(\frac{8\sqrt{2}}{a}\right)}^2={\left(3a\right)}^2$  

$a^2+\frac{128}{a^2}=9a^2$  

$\frac{128}{a^2}=8a^2\mid \cdot a^2$  

$128=8a^4\mid :8$  

$16=a^4$  

$2=a$  

 

Zatem mamy:

$a=2$  

$b=\frac{8\sqrt{2}}{a}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$  

$c=3a=3\cdot 2=6$  

Zatem otrzymujemy:

$L_{ABC}=2+4\sqrt{2}+6=8+4\sqrt{2}$

---

$\text{c)}$  

Rysunek pomocniczy:

Z treści zadania wiemy, że:

$c=16$  

oraz

$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{8}$  

$\frac{a}{c}\cdot \frac{a}{c}=\frac{1}{8}$  

$\frac{a^2}{c^2}=\frac{1}{8}$  

$\frac{a^2}{256}=\frac{1}{8}$  

$a^2=32$  

$a=\sqrt{32}$  

$a=4\sqrt{2}$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

$a^2+b^2=c^2$  

${\left(4\sqrt{2}\right)}^2+b^2={16}^2$  

$32+b^2=256$  

$b^2=224$  

$b=\sqrt{224}$  

$b=4\sqrt{14}$  

 

Zatem otrzymujemy:

$P=\frac{1}{2}ab$  

$P=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{14}$  

$P=8\sqrt{28}$  

$P=16\sqrt{7}$