Oznaczmy:

a, b - przyprostokątne trójkąta prostokątnego

c - przeciwprostokątna tego trójkąta

P_Δ - pole trójkąta prostokątnego

r - promień koła opisanego na trójkącie prostokątnym

P_r - pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym

r₁ - promień koła o średnicy długości a

r₂ - promień koła o średnicy długości b

P_r1 - pole koła o promieniu długości r₁

P_r2 - pole koła o promieniu długości r₂

x - pole szukanego wycinka zawartego w P₁

y - pole szukanego wycinka zawartego w P2

 

Z treści zadania wiemy, że:

$a=8$  

$b=15$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

$8^2+{15}^2=c^2$  

$64+225=c^2$  

$289=c^2$  

$17=c$  

 

Zauważmy, że:

$P_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 15=60$   

 

Wyznaczmy promień koła opisanego na tym trójkącie.

$r=\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}\cdot 17=\frac{17}{2}$  

$P=\pi r^2=\pi \cdot {\left(\frac{17}{2}\right)}^2=\pi \cdot \frac{289}{4}$  

Zatem:

$\frac{1}{2}{P}_r=\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \frac{289}{4}=\frac{289}{8}\pi$  

 

Zauważmy, że:

$r_1=\frac{8}{2}=4$   

$P_{r_1}=\pi \cdot 4^2=16\pi$  

$\frac{1}{2}{P}_{r_1}=\frac{1}{2}\cdot 16\pi =8\pi$  

$r_2=\frac{15}{2}$  

$P_{r_2}=\pi \cdot {\left(\frac{15}{2}\right)}^2=\frac{225}{4}\pi$  

$\frac{1}{2}{P}_{r_2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{225}{4}\pi =\frac{225}{8}\pi$  

 

Zatem otrzymujemy:

$x+y=\frac{1}{2}{P}_{r_1}+\frac{1}{2}{P}_{r_2}+P_{\Delta }-\frac{1}{2}{P}_r=8\pi +\frac{225}{8}\pi +60-\frac{289}{8}\pi =60$  

Suma pól półksiężyców jest równa 60cm² i jest równa polu trójkąta prostokątnego.