a)

Korzystamy z tw. Pitagorasa i obliczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $30$ i $40.$

${30}^2+{40}^2=c^2$

$900+1600=c^2$

$2500=c^2$

$50=c$

---

b)

Korzystamy z tw. Pitagorasa i obliczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $\sqrt{5}$ i $2.$

${\left(\sqrt{5}\right)}^2+2^2=c^2$

$5+4=c^2$

$9=c^2$

$3=c$  

---

c)

Korzystamy z tw. Pitagorasa i obliczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $2\sqrt{2}-1$ i $2\sqrt{2}+1.$

${\left(2\sqrt{2}-1\right)}^2+{\left(2\sqrt{2}+1\right)}^2=c^2$

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat różnicy oraz kwadrat sumy.

${\left(2\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^2=c^2$  

$4\cdot 2-4\sqrt{2}+1+4\cdot 2+4\sqrt{2}+1=c^2$

$8-\cancel{4\sqrt{2}}+1+8+\cancel{4\sqrt{2}}+1=c^2$  

$18=c^2$

$\sqrt{18}=c$

$3\sqrt{2}=c$  

---

d)

Korzystamy z tw. Pitagorasa i obliczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ i $\sqrt{5}+\sqrt{3}.$

${\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}^2=c^2$

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat różnicy oraz kwadrat sumy.

$\left(5-2\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}+3\right)+\left(5+2\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}+3\right)=c^2$

$8-2\sqrt{15}+8+2\sqrt{15}=c^2$

$16=c^2$

$4=c$

---

e)

Korzystamy z tw. Pitagorasa i obliczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $2\sqrt{2}$ i $2\sqrt{2}.$

${\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=c^2$

$4\cdot 2+4\cdot 2=c^2$

$16=c^2$

$4=c$

---

f)

Wyznaczamy długość drugiej przyprostokątnej.

$\frac{1}{b}=2|\cdot b$

$1=2b|:2$

$\frac{1}{2}=b$

Korzystamy z tw. Pitagorasa i obliczamy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości $2$ i $\frac{1}{2}.$

$2^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=c^2$

$4+\frac{1}{4}=c^2$

$4\frac{1}{4}=c^2$  

$\frac{17}{4}=c^2$  

$\frac{\sqrt{17}}{2}=c$