$\text{a)}$  

Aby znaleźć punkt wspólny prostej i hiperboli rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}y=-x+m\\ y=\frac{2x+2}{x-1}\end{array}$   

Pamiętamy o dziedzinie hiperboli:

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$  

 

$\{\begin{array}{l}y=-x+m\\ -x+m=\frac{2x+2}{x-1}\end{array}$  

Rozwiązujemy drugie równanie:

$-x+m=\frac{2x+2}{x-1}\mid \cdot \left(x-1\right)$  

$\left(-x+m\right)\left(x-1\right)=2x+2$  

$-x^2+x+mx-m=2x+2\mid -2x-2$  

$-x^2+x+mx-m-2x-2=0$  

$-x^2+mx-x-m-2=0$   

$-x^2+\left(m-1\right)x-m-2=0$  

Otrzymujemy równanie kwadratowe, więc obliczamy wyróżnik:

$\Delta ={\left(m-1\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-m-2\right)=m^2-2m+1-4m-8=m^2-6m-7$  

Prosta oraz hiperbola mają jeden punkt wspólny, więc układ równań będzie mieć jedno rozwiązanie.

Aby układ miał jedno rozwiązanie wyróznik kwadratowy musi być równy 0.

$\Delta =0,\text{czyli}{m}^2-6m-7=0$