a)

Zał:

$x-1\ne 0$  

$x\ne 1$  

 

$x+1=\frac{2-2x}{x-1}$

$x+1=\frac{-2\cdot \left(x-1\right)}{x-1}$

$x+1=-2\mid -1$

$x=-3$

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

---

b)

Zał:

$x-2\ne 0,x-1\ne 0$  

$x\ne 2,x\ne 1$  

 

$\frac{2x-2}{x-2}=\frac{x}{x-1}\mid \cdot \left(x-2\right)\left(x-1\right)$

$\left(2x-2\right)\left(x-1\right)=x\left(x-2\right)$

$2x^2-2x-2x+2=x^2-2x\mid -x^2+2x$

$x^2-2x+2=0$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8<0$

Brak rozwiązań.

---

c)

Zał:

$2-3x\ne 0$  

$2\ne 3x$  

$\frac{2}{3}\ne x$  

 

$\frac{6x-4}{2-3x}=-2\mid \cdot \left(2-3x\right)$

$6x-4=-4+6x$

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

---

d)

Zał:

$x+2\ne 0,3x+1\ne 0$  

$x\ne -2,3x\ne -1$  

$x\ne -2,x\ne -\frac{1}{3}$  

 

$\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+1}{3x+1}\mid \cdot \left(x+2\right)\left(3x+1\right)$  

$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$  

$3x^2+x-3x-1=x^2+2x+x+2$  

$3x^2-2x-1=x^2+3x+2\mid -x^2-3x-2$  

$2x^2-5x-3=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=25+24=49$  

$x_1=\frac{5-7}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$  

$x_2=\frac{5+7}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3$  

Równanie ma dwa rozwiązania.

---

e)

Zał:

$2x-1\ne 0,2-4x\ne 0$  

$2x\ne 1,2\ne 4x$  

$x\ne \frac{1}{2},\frac{1}{2}\ne x$  

 

$\frac{3-x}{2x-1}=\frac{2x-6}{2-4x}$

$\frac{3-x}{2x-1}=\frac{2x-6}{-2\left(2x-1\right)}|\cdot \left(2x-1\right)$

$3-x=\frac{2x-6}{-2}\mid \cdot \left(-2\right)$  

$-6+2x=2x-6$  

$0=0$  

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

---

f)

Zał:

$x-1\ne 0$  

$x\ne 1$  

 

$x+\frac{3x}{x-1}=\frac{6x-3}{x-1}\mid \cdot \left(x-1\right)$  

$x\left(x-1\right)+3x=6x-3$  

$x^2-x+3x=6x-3$  

$x^2+2x=6x-3\mid -6x+3$  

$x^2-4x+3=0$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$  

$x_1=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1\notin D$  

$x_2=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.