$\text{a)}f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-3}$  

Określamy dziedzinę funkcji f - mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera. Stąd:

$x-3\ne 0$  

$x\ne 3$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{3\right\}$  

Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-3}=\frac{2\left(x-3\right)+5}{x-3}=2+\frac{5}{x-3}=\frac{5}{x-3}+2$  

Pierwszą współrzędną punktu zawsze możemy wybrać jako całkowitą, natomiast druga współrzędna będzie całkowita, gdy liczba  $\frac{5}{x-3}+2$  będzie całkowita, czyli, gdy liczba x-3 będzie dzielnikiem liczby 5, a więc jedną z liczb: -5, -1, 1, 5.

Wynika stąd, że:

$x-3\in \left\{-5,-1,1,5\right\}$  

czyli:

$x\in \left\{-5+3,-1+3,1+3,5+3\right\}=\left\{-2,2,4,8\right\}$  

Dla wyznaczonych argumentów obliczamy wartości funkcji f:

$f\left(-2\right)=\frac{5}{-2-3}+2=\frac{5}{-5}+2=-1+2=1$  

$f\left(2\right)=\frac{5}{2-3}+2=\frac{5}{-1}+2=-5+2=-3$  

$f\left(4\right)=\frac{5}{4-3}+2=\frac{5}{1}+2=5+2=7$  

$f\left(8\right)=\frac{5}{8-3}+2=\frac{5}{5}+2=1+2=3$  

Szukane punkty to:

$\left(-2,1\right),\left(2,-3\right),\left(4,7\right),\left(8,3\right)$  

---

$\text{b)}f\left(x\right)=\frac{-3x-10}{x+2}$  

Określamy dziedzinę funkcji f - mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera. Stąd:

$x+2\ne 0$  

$x\ne -2$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{-2\right\}$  

Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{-3x-10}{x+2}=\frac{-3\left(x+2\right)-4}{x+2}=-3-\frac{4}{x+2}=-\frac{4}{x+2}-3$  

Pierwszą współrzędną punktu zawsze możemy wybrać jako całkowitą, natomiast druga współrzędna będzie całkowita, gdy liczba  $-\frac{4}{x+2}-3$  będzie całkowita, czyli, gdy liczba x+2 będzie dzielnikiem liczby -4, a więc jedną z liczb: -4, -2, -1, 1, 2, 4.

Wynika stąd, że:

$x+2\in \left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}$  

czyli:

$x\in \left\{-4-2,-2-2,-1-2,1-2,2-2,4-2\right\}=\left\{-6,-4,-3,-1,0,2\right\}$  

Dla wyznaczonych argumentów obliczamy wartości funkcji f:

$f\left(-6\right)=-\frac{4}{-4}-3=1-3=-2$  

$f\left(-4\right)=-\frac{4}{-2}-3=2-3=-1$  

$f\left(-3\right)=-\frac{4}{-1}-3=4-3=1$  

$f\left(-1\right)=-\frac{4}{1}-3=-4-3=-7$  

$f\left(0\right)=-\frac{4}{2}-3=-2-3=-5$  

$f\left(2\right)=-\frac{4}{4}-3=-1-3=-4$  

Szukane punkty to:

$\left(-6,-2\right),\left(-4,-1\right),\left(-3,1\right),\left(-1,-7\right),\left(0,-5\right),\left(2,-4\right)$  

---

$\text{c)}f\left(x\right)=\frac{2x+4}{x-4}$  

Określamy dziedzinę funkcji f - mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera. Stąd:

$x-4\ne 0$  

$x\ne 4$  

$D=\mathbf{R}\backslash \left\{4\right\}$  

Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{2x+4}{x-4}=\frac{2\left(x-4\right)+12}{x-4}=2+\frac{12}{x-4}=\frac{12}{x-4}+2$  

Pierwszą współrzędną punktu zawsze możemy wybrać jako całkowitą, natomiast druga współrzędna będzie całkowita, gdy liczba  $\frac{12}{x-4}+2$  będzie całkowita, czyli, gdy liczba x-4 będzie dzielnikiem liczby 12, a więc jedną z liczb: -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Wynika stąd, że:

$x-4\in \left\{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12\right\}$  

czyli:

$x\in \left\{-12+4,-6+4,-4+4,-3+4,-2+4,-1+4,1+4,2+4,3+4,4+4,6+4,12+4\right\}=\left\{-8,-2,0,1,2,3,5,6,7,8,10,16\right\}$  

Dla wyznaczonych argumentów obliczamy wartości funkcji f:

$f\left(-8\right)=\frac{12}{-12}+2=-1+2=1$  

$f\left(-2\right)=\frac{12}{-6}+2=-2+2=0$  

$f\left(0\right)=\frac{12}{-4}+2=-3+2=-1$  

$f\left(1\right)=\frac{12}{-3}+2=-4+2=-2$  

$f\left(2\right)=\frac{12}{-2}+2=-6+2=-4$  

$f\left(3\right)=\frac{12}{-1}+2=-12+2=-10$  

$f\left(5\right)=\frac{12}{1}+2=12+2=14$  

$f\left(6\right)=\frac{12}{2}+2=6+2=8$  

$f\left(7\right)=\frac{12}{3}+2=4+2=6$  

$f\left(8\right)=\frac{12}{4}+2=3+2=5$  

$f\left(10\right)=\frac{12}{6}+2=2+2=4$  

$f\left(16\right)=\frac{12}{12}+2=1+2=3$  

Szukane punkty to:

$\left(-8,1\right),\left(-2,0\right),\left(0,-1\right),\left(1,-2\right),\left(2,-4\right),\left(3,-10\right),\left(5,14\right),\left(6,8\right),\left(7,6\right),\left(8,5\right),\left(10,4\right),\left(16,3\right)$