Objętość prostopadłościanu wyraża się wzorem:

$V\left(x\right)=2x\cdot 2x\cdot \left(7-x\right)=4x^2\left(7-x\right)=28x^2-4x^3=-4x^3+28x^2$  

Długości krawędzi prostopadłościanu muszą być liczbami dodatnimi. Stąd:

$\{\begin{array}{l}2x>0\mid :2\\ 7-x>0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x>0\\ 7>x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x>0\\ x<7\end{array}$  

$x\in \left(0,7\right)$  

Zatem:

$D=\left(0,7\right)$  

Otrzymujemy:

$V\left(x\right)=-4x^3+28x^2,D=\left(0,7\right)$  

---

Obliczamy wartości funkcji y=V(x) dla argumentów danych w tabeli:

$V\left(\frac{1}{2}\right)=-4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3+28\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=-4\cdot \frac{1}{8}+28\cdot \frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+7=6\frac{1}{2}$  

$V\left(1\right)=-4+28=24$  

$V\left(\frac{3}{2}\right)=-4\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^3+28\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2=-4\cdot \frac{27}{8}+28\cdot \frac{9}{4}=-\frac{27}{2}+7\cdot 9=-13\frac{1}{2}+63=49\frac{1}{2}$  

$V\left(2\right)=-4\cdot 2^3+28\cdot 2^2=-4\cdot 8+28\cdot 4=-32+112=80$  

$V\left(\frac{5}{2}\right)=-4\cdot {\left(\frac{5}{2}\right)}^3+28\cdot {\left(\frac{5}{2}\right)}^2=-4\cdot \frac{125}{8}+28\cdot \frac{25}{4}=-\frac{125}{2}+7\cdot 25=-62\frac{1}{2}+175=112\frac{1}{2}$  

Uzupełniamy tabelę:

$x$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$	$\frac{5}{2}$
$V\left(x\right)$	$6\frac{1}{2}$	$24$	$49\frac{1}{2}$	$80$	$112\frac{1}{2}$

---

Objętość klocka jest równa 0,2 dm³, czyli 200 cm³. Stąd:

$V\left(x\right)=200$  

$-4x^3+28x^2=200$  

$-4x^3+28x^2-200=0\mid :\left(-4\right)$  

$x^3-7x^2+50=0$  

Szukamy pierwiastków wielomianu

$w\left(x\right)=x^3-7x^2+50$  

Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w, którego wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego tego wielomianu.

Sprawdzamy, czy któryś z dzielników wyrazu wolnego jest pierwiastkiem w:

$w\left(1\right)=1-7+50=44\ne 0$  

$w\left(2\right)=2^3-7\cdot 2^2+50=8-7\cdot 4+50=8-28+50=30\ne 0$  

$w\left(5\right)=5^3-7\cdot 5^2+50=125-7\cdot 25+50=175-175=0$  

Liczba 5 jest pierwiastkiem wielomianu w, więc wielomian w jest podzielny przez dwumian (x-5).

Wykonujemy dzielenie w:(x-5):

Otrzymujemy:

$w\left(x\right)=x^3-7x^2+50=\left(x-5\right)\left(x^2-2x-10\right)$  

Obliczamy pierwiastki trójmianu x²-2x-10:

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-10\right)=4+40=44,\sqrt{\Delta }=2\sqrt{11}$  

$x_1=\frac{2-2\sqrt{11}}{2}=1-\sqrt{11}\notin D$  

$x_2=\frac{2+2\sqrt{11}}{2}=1+\sqrt{11}\in D$  

Zatem rozwiązaniami równania w wyznaczonej dziedzinie są liczby:

$1+\sqrt{11},5$  

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wyraża się wzorem:

$P\left(x\right)=2\cdot {\left(2x\right)}^2+4\cdot 2x\cdot \left(7-x\right)=2\cdot 4x^2+8x\left(7-x\right)=8x^2+56x-8x^2=56x$  

Obliczamy pole powierzchni prostopadłościanu dla wyznaczonych wartości x:

$P\left(1+\sqrt{11}\right)=56\left(1+\sqrt{11}\right)\left[{\text{cm}}^2\right]$  

$P\left(5\right)=56\cdot 5=280\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Odp. Pole powierzchni całkowitej klocka jest równe 280 cm² lub  $56\left(1+\sqrt{11}\right){\text{cm}}^2.$