a)

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma \text{|}-a^2-b^2$

$c^2-a^2-b^2=-2ab\cos \gamma \text{|}:(-2ab)$

$\frac{c^2-a^2-b^2}{-2ab}=\cos \gamma$  

$\cos \gamma =\frac{{\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}^2-1^2-1^2}{-2\cdot 1\cdot 1}$  

$\cos \gamma =\frac{2+\sqrt{3}-1-1}{-2}$  

$\cos \gamma =\frac{\sqrt{3}}{-2}$  

$-\cos \gamma =\frac{\sqrt{3}}{2}$  

$\cos \left({180}^{\circ }-\gamma \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Wiemy, że:

$\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Zatem:

${180}^{\circ }-\gamma ={30}^{\circ }$  

$\gamma ={150}^o$  

Możemy zauważyć, że  $a=b=1$  więc trójkąt ten jest równoramienny.

$\alpha +\beta +{150}^o={180}^o$  

$\alpha +\beta ={30}^o$  

Wobec tego  $\alpha =\beta ={15}^o$  

---

b)

Korzystając z tw. cosinusów dla kąta $\alpha$ otrzymujemy:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

${\sqrt{2}}^2=2^2+{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2-2\cdot 2\cdot \left(1+\sqrt{3}\right)\cos \alpha$

$2=4+1+2\sqrt{3}+3-4\left(1+\sqrt{3}\right)\cos \alpha$

$2=8+2\sqrt{3}-4\left(1+\sqrt{3}\right)\cos \alpha |-8+2\sqrt{3}$

$-6+2\sqrt{3}=-4\left(1+\sqrt{3}\right)\cos \alpha |:-4\left(1+\sqrt{3}\right)$

$\frac{-6+2\sqrt{3}}{-4\left(1+\sqrt{3}\right)}=\cos \alpha$

$\frac{-2\left(3+\sqrt{3}\right)}{-4\left(1+\sqrt{3}\right)}=\cos \alpha$

$\frac{3+{\sqrt{3}}_{}}{2\left(1+\sqrt{3}\right)}=\cos \alpha$

Usuwając niewymierność z mianownika otrzymujemy:

$\frac{3+\sqrt{3}}{2\left(1+\sqrt{3}\right)}\cdot \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=\cos \alpha$

$\frac{3-3\sqrt{3}+\sqrt{3}-3}{2\left(1-{\sqrt{3}}^2\right)}=\cos \alpha$

$\frac{-2\sqrt{3}}{2\left(1-3\right)}=\cos \alpha$

$\frac{-\sqrt{3}}{-2}=\cos \alpha$

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$

Zauważmy, że $a$ jest najkrótszym bokiem, zatem kąt $\alpha$ jest najmniejszym kątem.

Wnioskujemy, że kąt $\alpha$ to kąt ostry.

$\cos \alpha =cos30^{\circ }$

$\alpha =30^{\circ }$

Korzystając z tw. sinusów wyznaczmy miarę kąta $\beta .$

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2}{\sin \beta }$

$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{\sin \beta }$

$\sqrt{2}\cdot \sin \beta =2\cdot \frac{1}{2}|:\sqrt{2}$

$\sin \beta =\frac{1}{\sqrt{2}}$

Usuwając niewymierność z mianownika mamy:

$\sin \beta =\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \beta =\sin 45^{\circ }\vee \sin \beta =\sin 135^{\circ }$

Zauważmy, że bok $c$ jest najdłuższy, zatem leży naprzeciw największego kąta. 

Wnioskujemy, że kąt $\beta$ jest kątem ostrym.

$\beta =45^{\circ }$

Wyznaczmy miarę kąta $\gamma .$ Korzystając z sumy miar kątów w trójkącie otrzymujemy:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

$30^{\circ }+45^{\circ }+\gamma =180^{\circ }$

$75^{\circ }+\gamma =180^{\circ }|-75^{\circ }$

$\gamma =105^{\circ }$