$\text{a)}$  

Obliczmy pole tego trójkąta.

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 16=6\cdot 16=96$  

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy długość przeciwprostokątnej.   

${12}^2+{16}^2=c^2$  

$144+256=c^2$  

$400=c^2$  

$20=c$  

 

Zatem otrzymujemy:

$r=\frac{2P}{a+b+c}$  

$r=\frac{2\cdot 96}{12+16+20}$  

$r=\frac{192}{48}$

$r=4$  

---

$\text{b)}$  

Obliczmy pole tego trójkąta.

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$  

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy długość przeciwprostokątnej.

$1^2+1^2=c^2$  

$1+1=c^2$  

$2=c^2$  

$\sqrt{2}=c$  

 

Zatem otrzymujemy:

$r=\frac{2P}{a+b+c}$  

$r=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1+1+\sqrt{2}}$  

$r=\frac{1}{2+\sqrt{2}}$

$r=\frac{2-\sqrt{2}}{2^2-{\sqrt{2}}^2}$

$r=\frac{2-\sqrt{2}}{4-2}$  

$r=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$  

---

$\text{c)}$  

Obliczmy pole tego trójkąta.

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=5\cdot 24=120$  

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy długość przeciwprostokątnej.

${10}^2+{24}^2=c^2$  

$100+576=c^2$  

$676=c^2$  

$26=c$  

 

Zatem otrzymujemy:

$r=\frac{2P}{a+b+c}$  

$r=\frac{2\cdot 120}{10+24+26}$  

$r=\frac{240}{60}$

$r=4$

---

$\text{d)}$  

Obliczmy pole tego trójkąta.

$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{5}=\sqrt{5}$  

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy długość przeciwprostokątnej.

$2^2+{\sqrt{5}}^2=c^2$  

$4+5=c^2$  

$9=c^2$  

$3=c$  

 

Zatem otrzymujemy:

$r=\frac{2P}{a+b+c}$  

$r=\frac{2\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}+3}$  

$r=\frac{2\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}$

Usuwamy niewymierność z mianownika.

$r=\frac{2\sqrt{5}\left(5-\sqrt{5}\right)}{5^2-{\sqrt{5}}^2}$

Iloczyn dwóch składników w liczniku zapisujemy jako różnica dwóch składników.

$r=\frac{10\sqrt{5}-10}{25-5}$  

W liczniku wyciągamy wspólny czynnik przed nawias.

$r=\frac{10\left(\sqrt{5}-1\right)}{20}$  

Skracamy licznik z mianownikiem.

$r=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$