Rysunek pomocniczy:

Zacznijmy od prostych, które są równoległe do osi $Ox$ i styczne do okręgu. Skoro druga współrzędna środka okręgu jest równa $2$ a promień okręgu jest równy $4$, to te proste mają równania: $y=2-4$ oraz $y=2+4$, czyli $y=-2$ i $y=6$.  Proste poprowadzone między tymi stycznymi mają z okręgiem dwa punkty wspólne, a proste poprowadzone powyżej stycznej $y=6$ lub poniżej stycznej $y=-2$ nie mają z okręgiem punktów wspólnych. Stąd mamy, że

• dla $m\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(6,\infty \right)$ prosta $y=m$ ma z okręgiem $0$ punktów wspólnych, 
• dla $m\in \left\{-2,6\right\}$ prosta $y=m$ ma z okręgiem $1$ punkt wspólny, 
• dla $m\in \left(-2,6\right)$ prosta $y=m$ ma z okręgiem $2$ punkty wspólne.