Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że:

$c=20\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

$y=x\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

$d=2\left[\text{cm}\right]$  

$b=d\sqrt{2}=2\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

$a=2\left[\text{cm}\right]$  

 

Zauważmy, że:

$x=20-a-b-2=20-2-2\sqrt{2}-2=16-2\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

 

$P_1$ - pole figury wewnątrz ekierki

$P_2$ - pole całej ekierki

$V$ - objętość drewna potrzebnego na jedną ekierkę

 

Obliczmy pole "odpadu", czyli pole figury znajdującej się wewnątrz ekierki.

$P_1=\frac{1}{2}\cdot x\cdot x=\frac{1}{2}\cdot {\left(16-2\sqrt{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\left(256-64\sqrt{2}+8\right)=132-32\sqrt{2}$       

$P_2=\frac{1}{2}\cdot 400=200$  

Zatem otrzymujemy:

$P_2-P_1=200-132+32\sqrt{2}=68+32\sqrt{2}$

$V=\frac{2}{10}\cdot \left(68+32\sqrt{2}\right)=\frac{136}{10}+\frac{64}{10}\sqrt{2}$  

 

Obliczmy ile drewna potrzeba na 1000 ekierek.

$1000V=13600+6400\sqrt{2}\approx 22650,9668\left[{\text{cm}}^3\right]=22,6509668\left[{\text{dm}}^3\right]\approx 22,7\left[{\text{dm}}^3\right]$  

---

Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy a,b,d jak we wcześniejszym przykładzie.

Zauważmy, że:

$d=2\left[\text{cm}\right]$  

$b=d\sqrt{2}=2\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

$a=2\left[\text{cm}\right]$  

 

Zauważmy, że:

$x=12-a-b-2=12-2-2\sqrt{2}-2=8-2\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

$z=12\sqrt{3}-2-a-b=12\sqrt{3}-2-2-2\sqrt{2}=12\sqrt{3}-4-2\sqrt{2}$  

 

Obliczmy jaka byłaby objętość drewna zużytego do wyprodukowania 1000 listewek mających kształt połowy trójkąta równobocznego o boku 24 cm.

Wtedy mamy:

$P_1=\frac{1}{2}\cdot x\cdot z=\frac{1}{2}\cdot \left(8-2\sqrt{2}\right)\left(12\sqrt{3}-4-2\sqrt{2}\right)=\left(4-\sqrt{2}\right)\left(12\sqrt{3}-4-2\sqrt{2}\right)=$  

$=48\sqrt{3}-16-8\sqrt{2}-12\sqrt{6}+4\sqrt{2}+4=48\sqrt{3}-12-4\sqrt{2}-12\sqrt{6}$  

$P_2=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\sqrt{3}=72\sqrt{3}$  

Zatem otrzymujemy:

$P_2-P_1=72\sqrt{3}-\left(48\sqrt{3}-12-4\sqrt{2}-12\sqrt{6}\right)=24\sqrt{3}+12+4\sqrt{2}+12\sqrt{6}$

$V=\frac{2}{10}\cdot \left(24\sqrt{3}+12+4\sqrt{2}+12\sqrt{6}\right)=\frac{1}{10}\cdot \left(48\sqrt{3}+24+8\sqrt{2}+24\sqrt{6}\right)$  

Zatem:

$1000V=1000\cdot \frac{1}{10}\cdot \left(48\sqrt{3}+24+8\sqrt{2}+24\sqrt{6}\right)=100\left(48\sqrt{3}+24+8\sqrt{2}+24\sqrt{6}\right)\approx$  

$\approx 100\cdot \left(48\cdot 1,73+24+8\cdot 1,41+24\cdot 2,45\right)\approx 100\cdot \left(83,04+24+11,28+58,8\right)\approx$

$\approx 100\cdot 177,12\approx 17712\left[{\text{cm}}^3\right]$  

 

Uwaga!!!

Różnica w powyższym wyniku i wyniku podanym w podręczniku wynika z przyjętych przybliżeń.