$\text{a)}$  

Rysunek pomocniczy:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$  

$\frac{5}{13}=\frac{a}{c}$  

$\frac{5}{13}c=a$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa:

$a^2+{12}^2=c^2$  

${\left(\frac{5}{13}c\right)}^2+{12}^2=c^2$  

$\frac{25}{169}{c}^2+144=c^2$  

$144=\frac{144}{169}{c}^2$  

$169=c^2$  

$13=c$  

Zatem:

$a=\frac{5}{13}\cdot 13$  

$a=5$  

 

$\frac{5}{13}\cdot c=5$

$c=13$  

 

Zatem mamy:

$L=12+13+5=30$  

---

$b)$  

Rysunek pomocniczy:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$  

$\frac{4}{c}=\frac{\sqrt{5}}{5}$  

$4\cdot 5=\sqrt{5}\cdot c$  

$\frac{20}{\sqrt{5}}=c$  

$\frac{20\sqrt{5}}{5}=c$  

$4\sqrt{5}=c$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa:

$a^2+4^2=c^2$  

$a^2+16={\left(4\sqrt{5}\right)}^2$  

$a^2+16=80$  

$a^2=64$  

$a=8$  

 

Zatem mamy:

$L=8+4+4\sqrt{5}=12+4\sqrt{5}=4\left(3+\sqrt{5}\right)$   

---

$\text{c)}$  

Rysunek pomocniczy:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$  

$\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{6}}{3}$  

$b=\frac{\sqrt{6}}{3}c$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

${\sqrt{3}}^2+b^2=c^2$  

$3+{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}c\right)}^2=c^2$  

$3+\frac{6}{9}{c}^2=c^2$  

$3=\frac{3}{9}{c}^2$  

$3=\frac{1}{3}{c}^2$  

$9=c^2$  

$3=c$  

Zatem:

$b=\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot 3$  

$b=\sqrt{6}$  

 

Zatem mamy:

$L=\sqrt{3}+\sqrt{6}+3$  

---

$\text{d)}$  

Rysunek pomocniczy:

$\cos \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{13}$  

$\frac{b}{c}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$  

$b=\frac{3\sqrt{13}}{13}c$  

 

 

Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:

$6^2+b^2=c^2$  

$36+{\left(\frac{3\sqrt{13}}{13}c\right)}^2=c^2$  

$36+\frac{9}{13}{c}^2=c^2$  

$36=\frac{4}{13}{c}^2$  

$36\cdot \frac{13}{4}=c^2$  

$9\cdot 13=c^2$  

$3\sqrt{13}=c$  

Zatem:

$b=\frac{3\sqrt{13}}{13}\cdot 3\sqrt{13}$  

$b=9$  

 

Zatem mamy:

$L=6+9+3\sqrt{13}=15+3\sqrt{13}=3\left(5+\sqrt{13}\right)$