a)

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Półprosta BO jest dwusieczną kąta CBA, a więc:

$\sphericalangle OBA=\sphericalangle CBO=\frac{1}{2}\cdot {90}^{\circ }={45}^{\circ }$   

 

Półprosta AO jest dwusieczną kąta BAC, a więc:

$\sphericalangle OAB=\sphericalangle CAO=\frac{1}{2}\cdot {40}^{\circ }={20}^{\circ }$  

 

Suma miar kątów w trójkącie jest równa 180^o - a więc miara kąta BCA jest równa:

$\sphericalangle BCA={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{40}^{\circ }={50}^{\circ }$  

 

Półprosta CO jest dwusieczną kąta ACB, a więc:

$\sphericalangle OCB=\sphericalangle OCA=\frac{1}{2}\cdot {50}^{\circ }={25}^{\circ }$  

 

  

Suma miar kątów w trójkącie jest równa 180^o, a więc:

$\sphericalangle BOA={180}^{\circ }-{20}^{\circ }-{45}^{\circ }={115}^{\circ }$  

$\sphericalangle BOC={180}^{\circ }-{25}^{\circ }-{45}^{\circ }={110}^{\circ }$  

$\sphericalangle COA={180}^{\circ }-{20}^{\circ }-{25}^{\circ }={135}^{\circ }$  

 

 

 

 

---

b)

 Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Półprosta BO jest dwusieczną kąta CBA, a więc:

$\sphericalangle OBA=\sphericalangle CBO=\frac{1}{2}\cdot {45}^{\circ }={22,5}^{\circ }$   

 

Półprosta CO jest dwusieczną kąta BCA, a więc:

$\sphericalangle OCB=\sphericalangle OCA=\frac{1}{2}\cdot {75}^{\circ }={37,5}^{\circ }$  

 

Suma miar kątów w trójkącie jest równa 180^o - a więc miara kąta BAC jest równa:

$\sphericalangle BCA={180}^{\circ }-{75}^{\circ }-{45}^{\circ }={60}^{\circ }$  

 

Półprosta AO jest dwusieczną kąta CAB, a więc:

$\sphericalangle OAB=\sphericalangle OAC=\frac{1}{2}\cdot {60}^{\circ }={30}^{\circ }$   

  

 

Suma miar kątów w trójkącie jest równa 180^o, a więc:

$\sphericalangle BOA={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{22,5}^{\circ }={127,5}^{\circ }$   

$\sphericalangle BOC={180}^{\circ }-{22,5}^{\circ }-{37,5}^{\circ }={120}^{\circ }$  

$\sphericalangle COA={180}^{\circ }-{37,5}^{\circ }-{30}^{\circ }={112,5}^{\circ }$