a)

Wykonajmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy oznaczenia:

$\left|AB\right|=3\text{cm}$   

$\left|BC\right|=4\text{cm}$   

${\left|AC\right|}^2=3^2+4^2$  

${\left|AC\right|}^2=9+16$  

${\left|AC\right|}^2=25$  

$\left|AC\right|=5\text{cm}$  

 

Zauważmy, że trójkąt ABC podzieliliśmy na 3 trójkąty, gdzie wysokość każdego z nich wynosi  $r$  .

Obliczmy pola poszczególnych trójkątów:

$P_{ABC}=\frac{1}{\sout{2}{}_1}\cdot 3\cdot \sout{4}{}^2=6{\text{cm}}^2$  

 

$P_{ABO}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot r=1,5r$  

 

$P_{BCO}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot r=2r$  

 

$P_{ACO}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot r=2,5r$  

 

$P_{ABC}=P_{ABO}+P_{BCO}+P_{ACO}$   

$6=1,5r+2r+2,5r$  

$6=6r$  

$\underline{\mathbf{r}=1\text{cm}}$  

 

b)

${\left|AC\right|}^2=8^2+{15}^2$  

${\left|AC\right|}^2=64+225$  

${\left|AC\right|}^2=289$  

$\left|AC\right|=17\text{cm}$                

 

Obliczmy pola poszczególnych trójkątów:

$P_{ABC}=\frac{1}{\sout{2}{}_1}\cdot 15\cdot \sout{8}{}^4=60{\text{cm}}^2$  

 

$P_{ABO}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot r=4r$  

 

$P_{BCO}=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot r=7,5r$   

 

$P_{ACO}=\frac{1}{2}\cdot 17\cdot r=8,5r$  

 

$P_{ABC}=P_{ABO}+P_{BCO}+P_{ACO}$  

$60=4r+7,5r+8,5r$  

$60=20r\mid :20$  

$\underline{\mathbf{r}=3\text{cm}}$  

 

c)

   

 

${\left|AC\right|}^2=7^2+{24}^2$  

${\left|AC\right|}^2=49+576$   

${\left|AC\right|}^2=625$  

$\left|AC\right|=25\text{cm}$                

 

Obliczmy pola poszczególnych trójkątów:

$P_{ABC}=\frac{1}{\sout{2}{}_1}\cdot 7\cdot \sout{24}{}^{12}=84{\text{cm}}^2$   

 

$P_{ABO}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot r=3,5r$   

 

$P_{BCO}=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot r=12r$    

 

$P_{ACO}=\frac{1}{2}\cdot 25\cdot r=12,5r$  

 

$P_{ABC}=P_{ABO}+P_{BCO}+P_{ACO}$   

$84=3,5r+12r+12,5r$   

$84=28r\mid :28$   

$\underline{\mathbf{r}=3\text{cm}}$