a)

$P=\left(3,2\right)$  

$r=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$  

$\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$  

$\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2}{3}$  

$R=\left(-3,2\right)$  

$r=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$  

$\sin \beta =\sin \left({180}^{\circ }-\alpha \right)=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$  

$\cos \beta =\cos \left({180}^{\circ }-\alpha \right)=\frac{-3}{\sqrt{13}}=-\frac{3\sqrt{13}}{13}$  

$\mathrm{tg}\beta =\mathrm{tg}\left({180}^{\circ }-\alpha \right)=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$  

---

b) Ponieważ cosinus kąta 𝛼 jest liczbą dodatnią, to 𝛼 jest kątem ostrym.

Cosinus kąta 𝛼 jest równy stosunkowi pierwszej współrzędnej punktu leżącego na drugim ramieniu kąta 𝛼 do odległości tego punktu od początku układu współrzędnych. 

$\cos \alpha =\frac{3}{4}$  

Wobec tego

$x=3$  

$r=4$  

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu leżącego na drugim ramieniu kąta 𝛼. Punkt ten leży w I ćwiartce układu współrzędnych, więc będzie to liczba dodatnia. Punkt przecięcia prostej x=3 i okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu długości 4 (znajdujący się w I ćwiartce) jest punktem leżącym na drugim ramieniu kąta 𝛼.

Z początku układu współrzędnych prowadzimy półprostą przechodzącą przez ten punkt. Kąt pomiędzy dodatnią półosią x i tą półprostą ma miarę 𝛼.

Ponieważ cosinus kąta 𝛽 jest liczbą ujemną, to 𝛽 jest kątem rozwartym.

Cosinus kąta 𝛽 jest równy stosunkowi pierwszej współrzędnej punktu leżącego na drugim ramieniu kąta 𝛽 do odległości tego punktu od początku układu współrzędnych. 

$\cos \beta =-\frac{3}{4}=\frac{-3}{4}$  

Wobec tego

$x=-3$  

$r=4$  

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu leżącego na drugim ramieniu kąta 𝛽. Punkt ten leży w II ćwiartce układu współrzędnych, więc będzie to liczba dodatnia. Punkt przecięcia prostej x=-3 i okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu długości 4 (znajdujący się w II ćwiartce) jest punktem leżącym na drugim ramieniu kąta 𝛽.

Z początku układu współrzędnych prowadzimy półprostą przechodzącą przez ten punkt. Kąt pomiędzy dodatnią półosią x i tą półprostą ma miarę 𝛽.

---

c) Zarówno sinus kąta ostrego, jak i rozwartego, są liczbami dodatnimi.

Sinus kąta 𝛼 jest równy stosunkowi drugiej współrzędnej punktu leżącego na drugim ramieniu kąta 𝛼 do odległości tego punktu od początku układu współrzędnych. 

$\sin \alpha =\frac{3}{5}$  

Wobec tego:

$y=3$  

$r=5$  

Wyznaczamy pierwszą współrzędną punktu leżącego na drugim ramieniu kąta 𝛼. W tym celu w jednym układzie współrzędnych rysujemy prostą o równaniu y=3 oraz okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu długości 5. Punkt przecięcia prostej i okręgu jest punktem leżącym na drugim ramieniu kąta 𝛼. Otrzymamy dwa rozwiązania.

Z początku układu współrzędnych prowadzimy półproste przechodzące przez te punkty. Kąty pomiędzy dodatnią półosią x i tymi półprostymi mają miarę 𝛼.