Rozwiąż równanie.- Zadanie 13: Matematyka z plusem 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a) (lo g_{4} x)^{2} = 9$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x > 0$

$D = (0, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$(lo g_{4} x)^{2} = 9 ∣$

$∣ lo g_{4} x ∣ = 3$

Z własności wartości bezwzględnej:

$lo g_{4} x = 3 lub lo g_{4} x = - 3$

Z definicji logarytmu:

$x = 4^{3} = 64 \in D lub x = 4^{- 3} = \frac{1}{64} \in D$

$b) (lo g_{\frac{1}{5}} x)^{2} - 25 = 0$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x > 0$

$D = (0, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$(lo g_{\frac{1}{5}} x)^{2} - 25 = 0$

$(lo g_{\frac{1}{5}} x)^{2} = 25 ∣$

$lo g_{\frac{1}{5}} x = 5$

Z własności wartości bezwzględnej:

$lo g_{\frac{1}{5}} x = 5 lub lo g_{\frac{1}{5}} x = - 5$

Z definicji logarytmu:

$x = (\frac{1}{5})^{5} = \frac{1}{3125} \in D lub x = (\frac{1}{5})^{- 5} = 3125 \in D$

$c) (lo g_{2} x)^{2} + lo g_{2} x - 2 = 0$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x > 0$

$D = (0, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$(lo g_{2} x)^{2} + lo g_{2} x - 2 = 0$

Podstawiamy log₂x=t.

$t^{2} + t - 2 = 0$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9, Δ = 9 = 3$

$t = \frac{- 1 - 3}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 lub t = \frac{- 1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$lo g_{2} x = - 2 lub lo g_{2} x = 1$

Z definicji logarytmu:

$x = 2^{- 2} = \frac{1}{4} \in D lub x = 2^{1} = 2 \in D$

$d) (lo g x)^{2} - lo g x^{2} = 3$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x > 0 i x^{2} > 0$

$x > 0 i x \neq = 0$

$D = (0, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$(lo g x)^{2} - lo g x^{2} = 3$

$(lo g x)^{2} - 2 lo g x = 3$

Podstawiamy logx=t.

$t^{2} - 2 t = 3 ∣ + 1$

$t^{2} - 2 t + 1 = 4$

$(t - 1)^{2} = 4 ∣$

$∣ t - 1 ∣ = 2$

Z własności wartości bezwzględnej:

$t - 1 = 2 lub t - 1 = - 2$

$t = 3 lub t = - 1$

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$lo g x = 3 lub lo g x = - 1$

Z definicji logarytmu:

$x = 10^{3} = 1000 \in D lub x = 10^{- 1} = \frac{1}{10} \in D$

$e) 2 (lo g_{\frac{1}{2}} x)^{2} = 1 - lo g_{\frac{1}{2}} x$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x > 0$

$D = (0, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$2 (lo g_{\frac{1}{2}} x)^{2} = 1 - lo g_{\frac{1}{2}} x$

Podstawiamy $lo g_{\frac{1}{2}} x = t .$

$2 t^{2} = 1 - t$

$2 t^{2} + t - 1 = 0$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1) = 1 + 8 = 9, Δ = 9 = 3$

$t = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{- 4}{4} = - 1 lub t = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$lo g_{\frac{1}{2}} x = - 1 lub lo g_{\frac{1}{2}} x = \frac{1}{2}$

Z definicji logarytmu:

$x = (\frac{1}{2})^{- 1} = 2 \in D lub x = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{2}{2} \in D$

$f) (lo g_{\frac{1}{3}} x) (3 + lo g_{\frac{1}{3}} x) = 4$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x > 0$

$D = (0, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$(lo g_{\frac{1}{3}} x) (3 + lo g_{\frac{1}{3}} x) = 4$

Podstawiamy $lo g_{\frac{1}{3}} x = t .$

$t (3 + t) = 4$

$t^{2} + 3 t - 4 = 0$

$Δ = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 9 + 16 = 25, Δ = 25 = 5$

$t = \frac{- 3 - 5}{2} = \frac{- 8}{2} = - 4 lub t = \frac{- 3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$lo g_{\frac{1}{3}} x = - 4 lub lo g_{\frac{1}{3}} x = 1$

Z definicji logarytmu:

$x = (\frac{1}{3})^{- 4} = 3^{4} = 81 \in D lub x = (\frac{1}{3})^{1} = \frac{1}{3} \in D$

$g) (2 lo g_{3} x)^{2} = 2 lo g_{3} x^{2} + 3$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x > 0 i x^{2} > 0$

$x > 0 i x \neq = 0$

$D = (0, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$(2 lo g_{3} x)^{2} = 2 lo g_{3} x^{2} + 3$

$(2 lo g_{3} x)^{2} = 2 \cdot 2 lo g_{3} x + 3$

$(2 lo g_{3} x)^{2} - 2 \cdot 2 lo g_{3} x - 3 = 0$

Podstawiamy 2log₃x=t.

$t^{2} - 2 t - 3 = 0 ∣ + 4$

$t^{2} - 2 t + 1 = 4$

$(t - 1)^{2} = 4 ∣$

$∣ t - 1 ∣ = 2$

$t - 1 = 2 lub t - 1 = - 2$

$t = 3 lub t = - 1$

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$2 lo g_{3} x = 3 lub 2 lo g_{3} x = - 1 ∣ : 2$

$lo g_{3} x = \frac{3}{2} lub lo g_{3} x = - \frac{1}{2}$

Z definicji logarytmu:

$x = 3^{\frac{3}{2}} = 3^{3} = 27 = 33 \in D lub x = 3^{- \frac{1}{2}} = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} = \frac{3}{9} = \frac{3}{3} \in D$

$h) (lo g_{2} x) (1 + lo g_{2} x) = 2 + lo g_{2} x^{2}$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x > 0 i x^{2} > 0$

$x > 0 i x \neq = 0$

$D = (0, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$(lo g_{2} x) (1 + lo g_{2} x) = 2 + lo g_{2} x^{2}$

$(lo g_{2} x) (1 + lo g_{2} x) = 2 + 2 lo g_{2} x$

Podstawiamy log₂x=t.

$t (1 + t) = 2 + 2 t$

$t + t^{2} = 2 + 2 t$

$t^{2} - t - 2 = 0$

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 1 + 8 = 9, Δ = 9 = 3$

$t = \frac{1 - 3}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 lub t = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$lo g_{2} x = - 1 lub lo g_{2} x = 2$

Z definicji logarytmu:

$x = 2^{- 1} = \frac{1}{2} \in D lub x = 2^{2} = 4 \in D$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Określenie logarytmu

Premium

13:14

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Własności logarytmów

Premium

13:32

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Funkcja logarytmiczna

Premium

9:46

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.