Skorzystamy z twierdzenia o rozwiązaniach całkowitych:

Jeżeli wielomian W(x) o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego tego wielomianu.

---

$\text{a)}W\left(x\right)=x^3-2x^2-2x-3$  

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -3, -1, 1, 3.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

$W\left(-3\right)={\left(-3\right)}^3-2\cdot {\left(-3\right)}^2-2\cdot \left(-3\right)-3=-27-18+6-3=-42\ne 0$  

$W\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-2\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)-3=-1-2+2-3=-4\ne 0$  

$W\left(1\right)=1^3-2\cdot 1^2-2\cdot 1-3=1-2-2-3=-6\ne 0$  

$W\left(3\right)=3^3-2\cdot 3^2-2\cdot 3-3=27-18-6-3=0$  

W(3)=0, więc pierwiastkiem całkowitym tego wielomianu jest liczba 3.

---

$\text{b)}W\left(x\right)=x^3-3x^2-6x+8$  

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

$W\left(-8\right)={\left(-8\right)}^3-3\cdot {\left(-8\right)}^2-6\cdot \left(-8\right)+8=-512-192+48+8=-648\ne 0$  

$W\left(-4\right)={\left(-4\right)}^3-3\cdot {\left(-4\right)}^2-6\cdot \left(-4\right)+8=-64-48+24+8=-80\ne 0$  

$W\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3-3\cdot {\left(-2\right)}^2-6\cdot \left(-2\right)+8=-8-12+12+8=0$  

$W\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-3\cdot {\left(-1\right)}^2-6\cdot \left(-1\right)+8=-1-3+6+8=10\ne 0$  

$W\left(1\right)=1^3-3\cdot 1^2-6\cdot 1+8=1-3-6+8=0$  

$W\left(2\right)=2^3-3\cdot 2^2-6\cdot 2+8=8-12-12+8=-8\ne 0$  

$W\left(4\right)=4^3-3\cdot 4^2-6\cdot 4+8=64-48-24+8=0$  

$W\left(8\right)=8^3-3\cdot 8^2-6\cdot 8+8=512-192-48+8=280\ne 0$  

W(-2)=0, W(1)=0, W(4)=0, więc pierwiastkami całkowitymi tego wielomianu są liczby: -2, 1, 4.

---

$\text{c)}W\left(x\right)=2x^3+8x^2+8x+6$  

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

$W\left(-6\right)=2\cdot {\left(-6\right)}^3+8\cdot {\left(-6\right)}^2+8\cdot \left(-6\right)+6=-432+288-48+6=-186\ne 0$  

$W\left(-3\right)=2\cdot {\left(-3\right)}^3+8\cdot {\left(-3\right)}^2+8\cdot \left(-3\right)+6=-54+72-24+6=0$  

$W\left(-2\right)=2\cdot {\left(-2\right)}^3+8\cdot {\left(-2\right)}^2+8\cdot \left(-2\right)+6=-16+32-16+6=6\ne 0$  

$W\left(-1\right)=2\cdot {\left(-1\right)}^3+8\cdot {\left(-1\right)}^2+8\cdot \left(-1\right)+6=-2+8-8+6=4\ne 0$  

$W\left(1\right)=2\cdot 1^3+8\cdot 1^2+8\cdot 1+6=2+8+8+6=24\ne 0$  

$W\left(2\right)=2\cdot 2^3+8\cdot 2^2+8\cdot 2+6=16+32+16+6=70\ne 0$  

$W\left(3\right)=2\cdot 3^3+8\cdot 3^2+8\cdot 3+6=54+72+24+6=156\ne 0$  

$W\left(6\right)=2\cdot 6^3+8\cdot 6^2+8\cdot 6+6=432+288+48+6=774\ne 0$  

W(-3)=0, więc pierwiastkiem całkowitym tego wielomianu jest liczba: -3.

---

$\text{d)}W\left(x\right)=3x^4+x^3-x^2-x-2$  

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -2, -1, 1, 2.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

$W\left(-2\right)=3\cdot {\left(-2\right)}^4+{\left(-2\right)}^3-{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-2=3\cdot 16-8-4+2-2=48-8-4+2-2=36\ne 0$  

$W\left(-1\right)=3\cdot {\left(-1\right)}^4+{\left(-1\right)}^3-{\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)-2=3-1-1+1-2=0$  

$W\left(1\right)=3\cdot 1^4+1^3-1^2-1-2=3+1-1-1-2=0$  

$W\left(2\right)=3\cdot 2^4+2^3-2^2-2-2=3\cdot 16+8-4-2-2=48+8-4-2-2=48\ne 0$  

W(-1)=0, W(1)=0, więc pierwiastkami całkowitymi tego wielomianu są liczby: -1, 1.

---

$\text{e)}W\left(x\right)=x^5-x^4-2x^2-4x=x\left(x^4-x^3-2x-4\right)$  

Z powyższej postaci odczytujemy, że jednym z pierwiastków wielomianu W(x) jest liczba 0.

Szukamy pierwiastków wielomianu P(x)=x⁴-x³-2x-4.

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -4, -2, -1, 1, 2, 4.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem wielomianu P(x).

$P\left(-4\right)={\left(-4\right)}^4-{\left(-4\right)}^3-2\cdot \left(-4\right)-4=256-\left(-64\right)+8-4=256+64+4=324\ne 0$  

$P\left(-2\right)={\left(-2\right)}^4-{\left(-2\right)}^3-2\cdot \left(-2\right)-4=16-\left(-8\right)+4-4=16+8=24\ne 0$  

$P\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4-{\left(-1\right)}^3-2\cdot \left(-1\right)-4=1-\left(-1\right)+2-4=1+1+2-4=4-4=0$  

$P\left(1\right)=1^4-1^3-2\cdot 1-4=1-1-2-4=-6\ne 0$  

$P\left(2\right)=2^4-2^3-2\cdot 2-4=16-8-4-4=0$  

$P\left(4\right)=4^4-4^3-2\cdot 4-4=256-64-8-4=180\ne 0$  

P(-1)=0, P(2)=0, więc pierwiastkami całkowitymi wielomianu P(x) są liczby: -1, 2.

Zatem pierwiastkami całkowitymi wielomianu W(x) są liczby: -1, 0, 2.

---

$\text{f)}W\left(x\right)=x^6-4x^5-6x^4+4x^3+5x^2=x^2\left(x^4-4x^3-6x^2+4x+5\right)$  

Z powyższej postaci odczytujemy, że jednym z pierwiastków wielomianu W(x) jest liczba 0.

Szukamy pierwiastków wielomianu P(x)=x⁴-4x³-6x²+4x+5.

Dzielnikami wyrazu wolnego są: -5, -1, 1, 5.

Sprawdzamy, czy któraś z powyższych liczb jest pierwiastkiem wielomianu P(x).

$P\left(-5\right)={\left(-5\right)}^4-4\cdot {\left(-5\right)}^3-6\cdot {\left(-5\right)}^2+4\cdot \left(-5\right)+5=625+500-150-20+5=960\ne 0$  

$P\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4-4\cdot {\left(-1\right)}^3-6\cdot {\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)+5=1+4-6-4+5=0$  

$P\left(1\right)=1^4-4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1+5=1-4-6+4+5=0$  

$P\left(5\right)=5^4-4\cdot 5^3-6\cdot 5^2+4\cdot 5+5=625-500-150+20+5=0$  

P(-1)=0, P(1)=0, P(5)=0, więc pierwiastkami całkowitymi wielomianu P(x) są liczby: -1, 1, 5.

Zatem pierwiastkami całkowitymi wielomianu W(x) są liczby: -1, 0, 1, 5.