W układzie współrzędnych zaznaczamy dowolny kąt ostry  $\alpha$  i kąt  ${90}^{\circ }-\alpha$

Na osi Ox zaznaczamy punkt A, a na osi OY punkt C w taki sposób, że:

$\left|OA\right|=\left|OC\right|$  

Na końcowych ramionach tych kątów zaznaczamy punkty B i D takie, że:   

---

$BA\perp OX$  

$DC\perp OY$  

oraz:

$\left|OD\right|=\left|OB\right|=r$  

Zauważamy, że trójkąty AOB i COD są przystające, więc:

$\left|OC\right|=\left|OA\right|$  i  $\left|AB\right|=\left|CD\right|$  

czyli:

$x_D=y_B$   i  $y_D=x_B$  

Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego wiemy, że:

$a\text{)}\sin \left({90}^{\circ }-\alpha \right)=\frac{y_D}{r}$   

oraz

$\cos \alpha =\frac{x_B}{r}$  

zatem skoro:

$y_D=x_B$  

to:

$\sin \left({90}^{\circ }-\alpha \right)=\frac{x_B}{r}=\cos \alpha$  

---

$b\text{)}\cos \left({90}^{\circ }-\alpha \right)=\frac{x_D}{r}$   

oraz

$\sin \alpha =\frac{y_B}{r}$  

zatem skoro:

$x_D=y_B$  

to:

$\cos \left({90}^{\circ }-\alpha \right)=\frac{y_B}{r}=\sin \alpha$  

---

$c\text{)}\mathrm{tg}\left({90}^{\circ }-\alpha \right)=\frac{y_D}{x_D}$   

oraz

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y_B}{x_B}$  

zatem skoro:

$x_D=y_B$  

$y_D=x_B$  

to:

$\mathrm{tg}\left({90}^{\circ }-\alpha \right)=\frac{x_B}{y_B}=\frac{1}{\frac{y_B}{x_B}}=\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$