$-2\le \frac{x-2}{x-1}\le 4$  

Założenia: 

$x-1\ne 0$  

$x\ne 1$  

Nierówność ta jest równoważna układowi nierówności: 

$\{\begin{array}{l}\frac{x-2}{x-1}\ge -2\\ \frac{x-2}{x-1}\le 4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{x-2}{x-1}+2\ge 0\\ \frac{x-2}{x-1}-4\le 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{x-2}{x-1}+\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}\ge 0\\ \frac{x-2}{x-1}-\frac{4\left(x-1\right)}{x-1}\le 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{x-2}{x-1}+\frac{2x-2}{x-1}\ge 0\\ \frac{x-2}{x-1}-\frac{4x-4}{x-1}\le 0\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}\frac{x-2+2x-2}{x-1}\ge 0\\ \frac{x-2-4x+4}{x-1}\le 0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{3x-4}{x-1}\ge 0\\ \frac{-3x+2}{x-1}\le 0\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}\stackrel{V\left(x\right)}{\overbrace{\left(3x-4\right)\left(x-1\right)}}\ge 0\\ \underset{W\left(x\right)}{\underbrace{\left(-3x+2\right)\left(x-1\right)}}\le 0\end{array}$   

Rysujemy linię znaku wielomianu V(x). Zał.: x ≠ 1. 

$x\in \left(-\infty ,1\right)\cup ⟨\frac{4}{3},\infty )$  

Rysujemy linię znaku wielomianu W(x). Zał.: x ≠ 1. 

$x\in (-\infty ,\frac{2}{3}⟩\cup \left(1,\infty \right)$   

Mamy więc: 

$\{\begin{array}{l}x\in \left(-\infty ,1\right)\cup ⟨\frac{4}{3},\infty )\\ x\in (-\infty ,\frac{2}{3}⟩\cup \left(1,\infty \right)\end{array}$   

Zatem: 

$\mathbf{x}\in (-\infty ,\frac{2}{3}⟩\cup ⟨\frac{4}{3},\infty )$