a) Określamy najpierw dziedzinę wyrażenia. 

$x^2-9=0$  

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0$  

$x-3=0\vee x+3=0$  

$x=3\vee x=-3$  

Zatem: 

$\mathbf{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{-3,3\right\}$     

Skracamy wyrażenie. 

$\frac{x-3}{x^2-9}=\frac{{\sout{x-3}}^1}{{\sout{\left(x-3\right)}}_1\left(x+3\right)}=\frac{1}{\mathbf{x}+3}$  

---

b) Określamy najpierw dziedzinę wyrażenia. 

$a-1=0$

$a=1$   

Zatem: 

$\mathbf{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$   

Skracamy wyrażenie. 

$\frac{a^3-1}{a-1}=\frac{{\sout{\left(a-1\right)}}^1\left(a^2+a+1\right)}{{\sout{a-1}}_1}={\mathbf{a}}^2+\mathbf{a}+1$   

---

c) Określamy najpierw dziedzinę wyrażenia. 

$5x^2-3x=0$  

$x\left(5x-3\right)=0$  

$x=0\vee 5x-3=0$  

$x=0\vee 5x=3$  

$x=0\vee x=\frac{3}{5}$  

Zatem: 

$\mathbf{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{0,\frac{3}{5}\right\}$   

Skracamy wyrażenie. 

$\frac{4x^2+3x}{5x^2-3x}=\frac{{\sout{x}}^1\left(4x+3\right)}{{\sout{x}}_1\left(5x-3\right)}=\frac{4\mathbf{x}+3}{5\mathbf{x}-3}$  

---

d) Określamy dziedzinę wyrażenia.  

$x^4-16=0$  

${\left(x^2\right)}^2-4^2=0$  

$\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)=0$  

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^2+4\right)=0$  

$x-2=0\vee x+2=0\vee x^2+4=0$  

$x=2\vee x=-2\vee \underset{\text{brak rozwiązanˊ}}{\underbrace{x^2=-4}}$    

Zatem: 

$\mathbf{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{-2,2\right\}$  

Skracamy wyrażenie. 

$\frac{x^2+4}{x^4-16}=\frac{{\sout{x^2+4}}^1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right){\sout{\left(x^2+4\right)}}_1}=\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{x^2-2^2}=\frac{1}{{\mathbf{x}}^2-4}$  

---

e) Określamy dziedzinę wyrażenia.  

$y^2+y+1=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0$  

Brak pierwiastków. Zatem: 

$\mathbf{D}=\mathbb{R}$   

Skracamy wyrażenie. 

$\frac{y^3-1}{y^2+y+1}=\frac{\left(y-1\right){\sout{\left(y^2+y+1\right)}}^1}{{\sout{\left(y^2+y+1\right)}}_1}=\mathbf{y}-1$   

---

f) Określamy dziedzinę wyrażenia. 

$x^2+x-6=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$  

$x_1=\frac{-1-5}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3$  

$x_2=\frac{-1+5}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$  

Zatem: 

$\mathbf{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{-3,2\right\}$   

Skracamy wyrażenie. 

$\frac{x^2-4x+4}{x^2+x-6}=\frac{{\left(x-2\right)}^2}{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}=\frac{{\sout{\left(x-2\right)}}^1\left(x-2\right)}{\left(x+3\right){\sout{\left(x-2\right)}}_1}=\frac{\mathbf{x}-2}{\mathbf{x}+3}$   

---

g) Określamy dziedzinę wyrażenia. 

$x^2+9x+20=0$  

$\Delta =9^2-4\cdot 1\cdot 20=81-80=1$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1$   

$x_1=\frac{-9-1}{2\cdot 1}=\frac{-10}{2}=-5$  

$x_2=\frac{-9+1}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4$  

Zatem: 

$\mathbf{D}=\mathbb{R}\backslash \left\{-5,-4\right\}$  

Rozkładamy na czynniki wyrażenie znajdujące się w liczniku ułamka. 

$x^2+x-12=0$  

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=1+48=49$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$  

$x_1=\frac{-1-7}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4$  

$x_2=\frac{-1+7}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$  

Zatem: 

$x^2+x-12=\left(x+4\right)\left(x-3\right)$  

Skracamy wyrażenie. 

$\frac{x^2+x-12}{x^2+9x+20}=\frac{{\sout{\left(x+4\right)}}^1\left(x-3\right)}{\left(x+5\right){\sout{\left(x+4\right)}}_1}=\frac{\mathbf{x}-3}{\mathbf{x}+5}$