a) Zauważmy, że proste:

$x-y+3=0\text{i}x+y-1=0$  

są prostopadłe, więc ten trójkąt jest prostokątny (czyli jego ortocentrum znajduje się w wierzchołku kąta prostego)

Obliczmy współrzędne wierzchołka kąta prostego tego trójkąta czyli ortocentrum:  

$\{\begin{array}{l}x-y+3=0\\ x+y-1=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+3=y\\ y=-x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x+3=-x+1\\ y=-x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x=-2\\ y=-x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-\left(-1\right)+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\end{array}$  

$C=\left(-1,2\right)$  

---

b) Obliczmy współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta:

$\{\begin{array}{l}x-y+3=0\\ 3x-y-7=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x+3=y\\ 3x-7=y\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}x+3=y\\ 3x-7=x+3\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}x+3=y\\ 2x=10\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}x+3=y\\ x=5\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}5+3=y\\ x=5\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}y=8\\ x=5\end{array}$   

zatem:

$A=\left(5,8\right)$  

 

$\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\ 3x-y-7=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}-x+1=y\\ 3x-7=y\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}-x+1=y\\ 3x-7=-x+1\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}-x+1=y\\ 4x=8\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}-x+1=y\\ x=2\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}-2+1=y\\ x=2\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}y=-1\\ x=2\end{array}$   

zatem:

$B=\left(2,-1\right)$  

 

Obliczmy współrzędne środka boku AB:

$S_{AB}=\left(\frac{5+2}{2},\frac{8-1}{2}\right)$  

$S_{AB}=\left(\frac{7}{2},\frac{7}{2}\right)$  

 

Obliczmy współczynnik kierunkowy prostej AB:

$a_{AB}=\frac{-1-8}{2-5}=\frac{-9}{-3}=3$  

 

zatem współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka AB wynosi:

$a_{S_{AB}}=-\frac{1}{3}$  

 

Wyznaczmy równanie symetralnej odcinka AB:

$y-\frac{7}{2}=-\frac{1}{3}\left(x-\frac{7}{2}\right)$  

$y-\frac{7}{2}=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{6}$  

$y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{6}+\frac{21}{6}$  

$y=-\frac{1}{3}x+\frac{28}{6}$  

$y=-\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}$  

 

Obliczmy współrzędne środka boku AC:

$S_{AC}=\left(\frac{5-1}{2},\frac{8+2}{2}\right)$  

$S_{AC}=\left(\frac{4}{2},\frac{10}{2}\right)$  

$S_{AC}=\left(2,5\right)$  

 

Obliczmy współczynnik kierunkowy prostej AC:

$a_{AC}=\frac{2-8}{-1-5}=\frac{-6}{-6}=1$  

 

zatem współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka AC wynosi:

$a_{S_{AC}}=-1$  

 

Wyznaczmy równanie symetralnej odcinka AC:

$y-5=-1\cdot \left(x-2\right)$  

$y-5=-x+2$  

$y=-x+7$  

 

Wyznaczmy współrzędne środka O okręgu opisanego na tym trójkącie:

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}\\ y=-x+7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}\\ -\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}=-x+7\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}\\ -x+14=-3x+21\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}\\ -7=-2x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}x+\frac{14}{3}\\ x=3,5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}\cdot 3,5+\frac{14}{3}\\ x=3,5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3,5}{3}+\frac{14}{3}\\ x=3,5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{10,5}{3}\\ x=3,5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=3,5\\ x=3,5\end{array}$  

 

Obliczmy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie:

$\left|AO\right|=\sqrt{{\left(5-3,5\right)}^2+{\left(8-3,5\right)}^2}=\sqrt{{1,5}^2+{4,5}^2}=\sqrt{2,25+20,25}=\sqrt{22,25}$  

 

zatem równanie okręgu opisanego na tym trójkącie to:

${\left(x-3,5\right)}^2+{\left(y-3,5\right)}^2={\sqrt{22,5}}^2$  

${\left(x-3,5\right)}^2+{\left(y-3,5\right)}^2=22,5$  

---

c) Obliczmy długości boków tego trójkąta:

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(2-5\right)}^2+{\left(-1-8\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-9\right)}^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(-1-2\right)}^2+{\left(2+1\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+3^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$  

$\left|AC\right|={\sqrt{-1-5}}^2+{\left(2-8\right)}^2)=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=3\sqrt{8}$  

 

Obliczmy długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt:

$r=\frac{3\sqrt{2}+3\sqrt{8}-3\sqrt{10}}{2}=\frac{3\sqrt{2}\left(1+2-\sqrt{5}\right)}{2}=\frac{3\sqrt{2}\left(3-\sqrt{5}\right)}{2}$