Obliczmy współrzędne środka boku AB:

$S_{AB}=\left(\frac{1-1}{2},\frac{1-3}{2}\right)$  

$S_{AB}=\left(\frac{0}{2},\frac{-2}{2}\right)$  

$S_{AB}=\left(0,-1\right)$  

 

Obliczmy wartość współczynnika kierunkowego prostej AB:  

$a_{AB}=\frac{-3-1}{-1-1}=\frac{-4}{-2}=2$  

zatem współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka AB wynosi:

$a_{S_{AB}}=-\frac{1}{2}$  

 

Wyznaczmy równanie symetralnej odcinka AB:

$y-\left(-1\right)=-\frac{1}{2}\left(x-0\right)$  

$y+1=-\frac{1}{2}x$  

$y=-\frac{1}{2}x-1$  

 

Obliczmy współrzędne środka boku AC:

$S_{AC}=\left(\frac{1+4}{2},\frac{1+2}{2}\right)$  

$S_{AC}=\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2}\right)$   

 

Obliczmy wartość współczynnika kierunkowego prostej AC:

$a_{AC}=\frac{2-1}{4-1}=\frac{1}{3}$  

zatem współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka AC wynosi:

$a_{S_{AC}}=-3$  

 

Wyznaczmy równanie symetralnej odcinka AC:

$y-\frac{3}{2}=-3\left(x-\frac{5}{2}\right)$  

$y-\frac{3}{2}=-3x+\frac{15}{2}$  

$y=-3x+\frac{18}{2}$  

$y=-3x+9$  

 

Wyznaczmy współrzędne punktu O czyli środka okręgu opisanego na trójkącie ABC:

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x-1\\ y=-3x+9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x-1\\ -\frac{1}{2}x-1=-3x+9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x-1\\ -10=-\frac{5}{2}x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x-1\\ \frac{20}{5}=x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x-1\\ 4=x\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}\cdot 4-1\\ x=4\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=-3\\ x=4\end{array}$

 

Obliczmy długość promienia tego okręgu:

$\left|OA\right|=\sqrt{{\left(1+3\right)}^2+{\left(1-4\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$  

 

zatem równanie tego okręgu to:

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=5^2$  

${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=25$