$a\text{)}\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=0\\ y=x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2-{\left(x+1\right)}^2=0\\ y=x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2-\left(x^2+2x+1\right)=0\\ y=x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2-x^2-2x-1=0\\ y=x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2x-1=0\\ y=x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2x=1\\ y=x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=-\frac{1}{2}+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}$  

 

Naszkicujmy interpretację geometryczną tego układu równań:

$\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=0\\ y=x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\\ y=x+1\end{array}$  

zatem:

$\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0$  

$x-y=0\text{lub}x+y=0$  

$x=y\text{lub}y=-x$  

więc wykres równania  $x^2-y^2=0$  składa się z wykresów dwóch prostych  $x=y$  i  $y=-x$

Szkicujemy wykresy prostych:

$x=y,y=-x,y=x+1$   

 

Częścią wspólną czerwonego i zielonego wykresu jest punkt o współrzędnych  $A=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$  .

---

$b\text{)}\{\begin{array}{l}\left(x-y+1\right)\left(x-y-5\right)=0\\ y=x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left(x-\left(x+4\right)+1\right)\left(x-\left(x+4\right)-5\right)=0\\ y=x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left(x-x-4+1\right)\left(x-x-4-5\right)=0\\ y=x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3\cdot \left(-9\right)=0\\ y=x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-27\ne 0\\ y=x+4\end{array}$

ten układ równań jest sprzeczny

 

Naszkicujmy interpretację geometryczną tego układu równań:

$\{\begin{array}{l}\left(x-y+1\right)\left(x-y-5\right)=0\\ y=x+4\end{array}$  

zatem:

$\left(x-y+1\right)\left(x-y-5\right)=0$  

$x-y+1=0\text{lub}x-y-5=0$  

$y=x+1\text{lub}y=x-5$  

więc wykres równania  $\left(x-y+1\right)\left(x-y-5\right)=0$  składa się z wykresów dwóch prostych  $y=x+1$  i  $y=x-5$

Szkicujemy wykresy prostych o równaniach:

$y=x+1,y=x-5,y=x+4$

Wykresy te są równoległe, zatem nie mają punktów wspólnych.