Twierdzenie:

Proste k i l o równaniach kierunkowych:

$k:y=a_{1}x+b_1$    

$l:y=a_{2}x+b_2$

takie, że:

$a_1\cdot a_2=-1$   

są prostopadłe

 

Z: (Założenie) 

$a_1\cdot a_2=-1,\text{gdzie}k:y=a_{1}x+b_1,l:y=a_{2}x+b_2$  

 

T: (Teza)

$k\perp l$  

 

Dowód:

 

Musimy wykazać, że trójkąt ABC jest prostokątny, w którym:

$\left|\sphericalangle ABC\right|={90}^{\circ }$  

Wiemy, że:

$a_1=\mathrm{tg}\alpha \text{i}{a}_2=\mathrm{tg}\beta$  

oraz:

$a_1\cdot a_2=-1$  

$\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{tg}\beta =-1$  

$\mathrm{tg}\beta =-\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$  

$\beta ={90}^{\circ }+\alpha$  

 

Suma miar kątów przyległych wynosi 180o, zatem:

$\gamma ={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+\alpha \right)={90}^{\circ }-\alpha$  

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180^o, więc:

$\left|\sphericalangle ABC\right|={180}^{\circ }-\alpha -\left({90}^{\circ }-\alpha \right)={180}^{\circ }-\alpha -{90}^{\circ }+\alpha ={90}^{\circ }$  

ckd.