$a\text{)}a=b=\sqrt{2}$  

zatem:

$c=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$  

ponieważ trójkąt ABC jest prostokątny.

 

Obliczmy długość promienia okręgu wpisanego w ten okrąg:

$r=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}-2}{2}=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1$  

---

$b\text{)}\alpha ={30}^{\circ }\text{i}\left|BC\right|=6$  

Korzystamy z faktu, że znamy zależności między długościami boków w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30^o i 60^o:

$\left|AC\right|=6\sqrt{3}$  

$\left|AB\right|=2\cdot 6=12$  

 

Obliczmy długość promienia okręgu wpisanego w ten okrąg:

$r=\frac{6\sqrt{3}+6-12}{2}=\frac{6\sqrt{3}-6}{2}=3\sqrt{3}-3$  

---

$c\text{)}c=20\text{i}\mathrm{tg}\beta =1$  

zatem:

$\frac{b}{a}=1$  

więc:

$a=b$  

czyli:

$a=\frac{20}{\sqrt{2}}=\frac{20\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}$  

ponieważ trójkąt ABC jest prostokątny.

 

Obliczmy długość promienia okręgu wpisanego w ten okrąg:

$r=\frac{10\sqrt{2}+10\sqrt{2}-20}{2}=\frac{20\sqrt{2}-20}{2}=10\sqrt{2}-10$