Rysunek pomocniczy:

Zał:

$\alpha \in \left(0^{\circ },{180}^{\circ }\right)$  

 

Z treści zadania wiemy, że:

$\left|AH\right|=\left|BH\right|=\left|DH\right|=\left|EH\right|=\left|FH\right|=\left|GH\right|=a$  

$\left|CH\right|=a$  

Oznaczmy:

$\left|DC\right|=\left|EC\right|=\left|FC\right|=\left|GC\right|=b$  

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta DHC mamy:

$a^2+a^2=b^2$  

$2a^2=b^2$  

$a\sqrt{2}=b$  

 

Zauważmy, że:

$\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\frac{1}{2}\left|DE\right|}{\left|DC\right|}$  

$\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\frac{1}{2}\left|DE\right|}{b}$  

$\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\left|DE\right|}{2b}$  

$2b\cdot \sin \frac{\alpha }{2}=\left|DE\right|$  

$2\cdot a\sqrt{2}\cdot \sin \frac{\alpha }{2}=\left|DE\right|$  

 

Korzystając z tw. Pitagorasa dla trójkąta DEF mamy:

${\left|DE\right|}^2+{\left|EF\right|}^2={\left(a+a\right)}^2$  

${\left(2a\sqrt{2}\sin \frac{\alpha }{2}\right)}^2+{\left|EF\right|}^2={\left(2a\right)}^2$  

$4a^2\cdot 2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+{\left|EF\right|}^2=4a^2$  

${\left|EF\right|}^2=4a^2-8a^2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$  

${\left|EF\right|}^2=4a^2\left(1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}\right)$  

${\left|EF\right|}^2=4a^2\left(\cos \alpha \right)$  

$\left|EF\right|=2a\sqrt{\cos \alpha }$  

 

Wyznaczmy objętość tego ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot \left|DE\right|\cdot \left|EF\right|\cdot H$  

$V=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot a\sqrt{2}\cdot \sin \frac{\alpha }{2}\cdot 2a\sqrt{\cos \alpha }\cdot a$  

$V=\frac{4}{3}{a}^3\cdot \sin \frac{\alpha }{2}\cdot \sqrt{2\cos \alpha }$  

 

Zał:

$\cos \alpha >0$  

$\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$