$\text{a)}$  

Z treści zadania wiemy, że:

$\mathrm{tg}\alpha =3$  

$\cos \alpha <0$  

 

Zatem mamy:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=3$  

$\sin \alpha =3\cos \alpha$  

Z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:   

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\left(3\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$9{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$10{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}\text{i}\cos \alpha <0$  

$\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{10}}$  

$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$  

 

Zatem:

$\sin \alpha =3\cos \alpha$  

$\sin \alpha =3\cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$  

$\sin \alpha =-\frac{3\sqrt{10}}{10}$  

---

$\text{b)}$  

Z treści zadania wiemy, że:

$\cos \alpha =-\frac{2}{5}$  

$\mathrm{tg}\alpha <0$  

 

Z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(-\frac{2}{5}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{4}{25}=1$  

${\sin }^2\alpha =\frac{21}{25}$  

Wiemy, że cos i tg jest ujemny, zatem kąt znajduje się w II ćwiartce.

W II ćwiartce sin jest dodatni, zatem:

$\sin a\alpha =\frac{\sqrt{21}}{5}$  

 

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$