W zbiorze {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} mamy 6 licz nieparzystych (1,3,5,7,9,11) oraz 6 liczb parzystych (2,4,6,8,10,12).

---

a) Możliwości:

• wylosowano trzy liczby nieparzyste

Ilość wszystkich możliwości:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{3!\cdot 2\cdot 3}=4\cdot 5=20$  

---

b) Możliwości:

• wylosowano trzy liczby nieparzyste
• wylosowano dwie liczby parzyste i jedną nieparzystą

Ilość wszystkich możliwości:

$\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)=20+\frac{6!}{2!\cdot 4!}\cdot 6=20+\frac{4!\cdot 5\cdot 6}{2\cdot 4!}\cdot 6=$  

$=20+15\cdot 6=20+90=110$  

---

c) Możliwości:

• wylosowano trzy liczby podzielne przez 3 (3,6,9,12)
• wylosowano trzy liczby, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 1 (1,4,7,10)
• wylosowano trzy liczby, których reszta z dzielenia przez 3 wynosi 2 (2,5,8,11)
• wylosowano liczbę podzielną przez 3, liczbę, której reszta z dzielenia przez 3 wynosi 1 oraz liczbę, której reszta z dzielenia przez 3 wynosi 2

 

Ilość wszystkich możliwości:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)+4\cdot 4\cdot 4=4+4+4+64=76$  

---

d)

Oznaczmy:

$3k$   - liczba podzielna przez 3

${\left(3k\right)}^2=9k^2=3\cdot 3k^2$    - kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest liczbą podzielną przez 3

$3k+1$   - liczba, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1

${\left(3k+1\right)}^2=9k^2+6k+1=3\cdot \left(3k^2+2k\right)+1$    - otrzymujemy resztę równą 1

$3k+2$   - liczba, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2

${\left(3k+2\right)}^2=9k^2+12k+4=3\cdot \left(3k^2+4k+1\right)+1$   - otrzymujemy resztę równą 1

Możliwości:

• wylosowani trzy liczby podzielne przez 3 (3,6,9,12)
• wylosowano trzy liczby niepodzielne przez 3 (1,2,4,5,7,8,10,11)

 

Ilość wszystkich możliwości:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right)=4+\frac{8!}{3!\cdot 5!}=4+\frac{5!\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{2\cdot 3\cdot 5!}=4+7\cdot 8=4+56=60$