$\text{a)}$  

Z treści zadania wiemy, że:

$\{\begin{array}{l}{a}_7=1\\ a_{11}=9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1+6r=1\\ a_1+10r=9\end{array}$     

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1-6r\\ 1-6r+10r=9\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1-6r\\ 4r=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1-6r\\ r=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1-6\cdot 2\\ r=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1-12\\ r=2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=-11\\ r=2\end{array}$  

---

$\text{b)}$  

Sprawdźmy czy ciąg a₇, a₈, a₁₁ jest geometryczny.

$a_8^2=a_7\cdot a_{11}$  

${\left(a_1+7r\right)}^2=\left(a_1+6r\right)\cdot \left(a_1+10r\right)$  

${\left(-11+7\cdot 2\right)}^2=\left(-11+6\cdot 2\right)\cdot \left(-11+10\cdot 2\right)$  

${\left(-11+14\right)}^2=\left(-11+12\right)\cdot \left(-11+20\right)$  

$3^2=1\cdot 9$  

$9=9$  

Odp. Jest to ciąg geometryczny.

---

$\text{c)}$  

Wyznaczmy sumę n początkowych wyrazów tego ciągu.

$S_n=\frac{2a_1+\left(n-1\right)\cdot r}{2}\cdot n$  

$S_n=\frac{2\cdot \left(-11\right)+\left(n-1\right)\cdot 2}{2}\cdot n$  

$S_n=\frac{-22+2n-2}{2}\cdot n$  

$S_n=\frac{-24+2n}{2}\cdot n$  

$S_n=-12n+n^2$  

Wyznaczmy n, dla którego powyższa suma jest najmniejsza.

Zauważmy, że jest to parabola, której ramiona są skierowane w górę, zatem najmniejsza wartość jest osiągana w wierzchołku tej paraboli.

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-12\right)}{2\cdot 1}=\frac{12}{2}=6$  

Odp. Dla n=6 wartość tej sumy jest najmniejsza.