$\text{a)}$  

Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji  $f$  w przedziale  $\left(-3;3\right).$  

Obliczamy pochodną funkcji  $f.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2+9$  

Rozwiązujemy równanie  $f{}^{\prime }\left(x\right)=0.$  

$3x^2+9=0\mid -9$  

$3x^2=-9\mid :3$  

$x^2=-3$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Funkcja  $f$  nie posiada ekstremów.

Obliczamy wartości funkcji  $f$  na końcach przedziału  $⟨-3;3⟩.$  

$f\left(-3\right)={\left(-3\right)}^3+9\cdot \left(-3\right)+15=-27-27+15=-39$  

$f\left(3\right)=3^3+9\cdot 3+15=27+27+15=69$  

Stąd otrzymujemy, że

$y_{MIN}=f\left(-3\right)=-39,$  

$y_{MAX}=f\left(3\right)=69.$  

---

$\text{b)}$  

Wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji  $f$  w przedziale  $\left(0;4\right).$  

Obliczamy pochodną funkcji  $f.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=-3x^2+6x$  

Rozwiązujemy równanie  $f{}^{\prime }\left(x\right)=0.$  

$-3x^2+6x=0\mid :\left(-3\right)$  

$x^2-2x=0$  

$x\left(x-2\right)=0$  

Tylko w punktach  $x=0,$   $x=2$  funkcja  $f$  może mieć ekstrema.

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0.$  

$-3x^2+6x>0\mid :\left(-3\right)$  

$x^2-2x<0$  

$x\left(x-2\right)<0$  

$x\in \left(0;2\right)$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0.$  

$-3x^2+6x<0\mid :\left(-3\right)$  

$x^2-2x>0$  

$x\left(x-2\right)>0$  

$x\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(2;+\infty \right)$  

Rozwiązaniem nierówności  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0$  jest przedział $\left(0;2\right).$  W przedziale tym funkcja  $f$  jest rosnąca.

Rozwiązaniem nierówności  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0$  jest zbiór  $\left(-\infty ;0\right)\cup \left(2;+\infty \right).$  W przedziałach $\left(-\infty ;0\right)$  oraz $\left(2;+\infty \right)$  funkcja  $f$  jest malejąca.

Pochodna funkcji  $f$  zmienia znak z " $+$ " na " $-$ " w punkcie  $x=2,$  i z " $-$ " na " $+$ " w punkcie  $x=0.$  Stąd otrzymujemy, że w punkcie  $x=2,$  funkcja  $f$  ma maksimum, a w punkcie  $x=0$  ma minimum.

$y_{\max }=f\left(2\right)=-2^3+3\cdot 2^2-2=-8+12-2=2$  

$y_{\min }=f\left(0\right)=-0^3+3\cdot 0^2-2=0+0-2=-2$  

Obliczamy wartości funkcji  $f$  na końcach przedziału  $⟨0;4⟩.$  

$f\left(0\right)=-2$  

$f\left(4\right)=-4^3+3\cdot 4^2-2=-64+48-2=-18$  

Stąd otrzymujemy, że

$y_{MIN}=f\left(4\right)=-18,$  

$y_{MAX}=f\left(2\right)=2.$