$\text{a)}$  

Dziedziną funkcji  $f$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 2, czyli  $D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{2\right\}.$  

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=2.$  

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2+2x+3}{x-2}=\left[\frac{2^2+2\cdot 2+3}{0^{-}}\right]=\left[\frac{11}{0^{-}}\right]=-\infty$  

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2+2x+3}{x-2}=\left[\frac{2^2+2\cdot 2+3}{0^{+}}\right]=\left[\frac{11}{0^{+}}\right]=+\infty$  

Zauważmy, że gdy  $x$  "dąży do 2" z lewej strony  $\left(x\to 2^{-}\right),$  wartości wyrażenia  $x-2$  "dążą do 0", będąc stale liczbami ujemnymi, natomiast, gdy  $x$  "dąży do 2" z prawej strony  $\left(x\to 2^{+}\right),$  wartości wyrażenia  $x-2$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi.

W punkcie  $x_0=2$  funkcja  $f$  ma granice jednostronne niewłaściwe, zatem prosta  $x=2$  jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$  

---

$\text{b)}$  

Dziedziną funkcji  $f$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 1, czyli  $D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{1\right\}.$  

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=1.$  

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+1\right)=1+1=2$  

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x+1\right)=1+1=2$  

W punkcie  $x_0=1$  funkcja  $f$  nie ma granic jednostronnych niewłaściwych, zatem prosta  $x=1$  nie jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$  

---

$\text{c)}$  

Dziedziną funkcji  $f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+1}{x^2+3x+2}$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb -2 oraz -1, czyli  $D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{-2,-1\right\}.$  

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=-2.$  

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{x^2-3x+1}{x^2+3x+2}=\left[\frac{{\left(-2\right)}^2-3\cdot \left(-2\right)+1}{0^{+}}\right]=\left[\frac{11}{0^{+}}\right]=+\infty$  

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{x^2-3x+1}{x^2+3x+2}=\left[\frac{{\left(-2\right)}^2-3\cdot \left(-2\right)+1}{0^{-}}\right]=\left[\frac{11}{0^{-}}\right]=-\infty$  

Zauważmy, że gdy  $x$  "dąży do -2" z lewej strony  $\left(x\to -2^{-}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2+3x+2$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi, natomiast, gdy  $x$  "dąży do -2" z prawej strony  $\left(x\to -2^{+}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2+3x+2$  "dążą do 0", będąc stale liczbami ujemnymi.

W punkcie  $x_0=-2$  funkcja  $f$  ma granice jednostronne niewłaściwe, zatem prosta  $x=-2$  jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$  

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=-1.$  

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x^2-3x+1}{x^2+3x+2}=\left[\frac{{\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)+1}{0^{-}}\right]=\left[\frac{5}{0^{-}}\right]=-\infty$  

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x^2-3x+1}{x^2+3x+2}=\left[\frac{{\left(-1\right)}^2-3\cdot \left(-1\right)+1}{0^{+}}\right]=\left[\frac{5}{0^{+}}\right]=+\infty$  

Zauważmy, że gdy  $x$  "dąży do -1" z lewej strony  $\left(x\to -1^{-}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2+3x+2$  "dążą do 0", będąc stale liczbami ujemnymi, natomiast, gdy  $x$  "dąży do -1" z prawej strony  $\left(x\to -1^{+}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2+3x+2$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi.

W punkcie  $x_0=-1$  funkcja  $f$  ma granice jednostronne niewłaściwe, zatem prosta  $x=-1$  jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$  

---

$\text{d)}$  

Dziedziną funkcji  $f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb 1 oraz 2, czyli  $D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{1,2\right\}.$  

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=1.$  

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}=\frac{-2}{-1}=2$  

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}=\frac{-2}{-1}=2$  

W punkcie  $x_0=1$  funkcja  $f$  nie ma granic jednostronnych niewłaściwych, zatem prosta  $x=1$  nie jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$  

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=2.$  

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}=\left[\frac{-1}{0^{-}}\right]=+\infty$  

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}=\left[\frac{-1}{0^{+}}\right]=-\infty$  

Zauważmy, że gdy  $x$  "dąży do 2" z lewej strony  $\left(x\to 2^{-}\right),$  wartości wyrażenia  $x-2$  "dążą do 0", będąc stale liczbami ujemnymi, natomiast, gdy  $x$  "dąży do 2" z prawej strony  $\left(x\to 2^{+}\right),$  wartości wyrażenia  $x-2$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi.

W punkcie  $x_0=2$  funkcja  $f$  ma granice jednostronne niewłaściwe, zatem prosta  $x=2$  jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$