$\text{a)}$  

Dziedziną funkcji  $f\left(x\right)=\frac{4}{x^2}$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 0, czyli  $D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{0\right\}.$  

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=0.$  

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{4}{x^2}=\left[\frac{4}{0^{+}}\right]=+\infty$  

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{4}{x^2}=\left[\frac{4}{0^{+}}\right]=+\infty$  

Zauważmy, że gdy  $x$  "dąży do 0" z lewej strony  $\left(x\to 0^{-}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi. Gdy  $x$  "dąży do 0" z prawej strony  $\left(x\to 0^{+}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi.

W punkcie  $x_0=0$  funkcja  $f$  ma granice jednostronne niewłaściwe, zatem prosta  $x=0$  jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$  

---

$\text{b)}$  

Dziedziną funkcji  $f\left(x\right)=\frac{x^3}{x^2+x}$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb 0 oraz -1, czyli  $D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{-1,0\right\}.$  

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=-1.$  

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x^3}{x^2+x}=\left[\frac{-1}{0^{+}}\right]=-\infty$  

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x^3}{x^2+x}=\left[\frac{-1}{0^{-}}\right]=+\infty$  

Zauważmy, że gdy  $x$  "dąży do -1" z lewej strony  $\left(x\to -1^{-}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2+x$  "dążą do 0", będąc stale liczbami ujemnymi, natomiast, gdy  $x$  "dąży do -1" z prawej strony  $\left(x\to -1^{+}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2+x$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi.

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=0.$  

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^3}{x^2+x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^3}{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x}{1+\frac{1}{x}}=\left[\frac{0}{1}\right]=0$  

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^3}{x^2+x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^3}{x^2\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{1+\frac{1}{x}}=\left[\frac{0}{1}\right]=0$  

W punkcie  $x_0=-1$  funkcja  $f$  ma granice jednostronne niewłaściwe, zatem prosta  $x=-1$  jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$  

W punkcie  $x_0=0$  funkcja  $f$  nie ma granic jednostronnych niewłaściwych, zatem prosta  $x=0$  nie jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$