Oblicz granicę ...- Zadanie 14: Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a)$

Obliczamy granicę.

$x \to + \infty lim \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} = x \to + \infty lim \frac{x ^{2}}{x ^{2} ( 1 - \frac{4}{x ^{2}} )} = x \to + \infty lim \frac{1}{1 - \frac{4}{x ^{2}}} = \frac{1}{1} = 1$

$b)$

Obliczamy granicę.

$x \to - \infty lim \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} = x \to - \infty lim \frac{x ^{2}}{x ^{2} ( 1 - \frac{4}{x ^{2}} )} = x \to - \infty lim \frac{1}{1 - \frac{4}{x ^{2}}} = \frac{1}{1} = 1$

$c)$

Obliczamy granicę.

$x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} + 4 x + 1}{2 x ^{2} + 5 x} = x \to + \infty lim \frac{x ^{2} ( 3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x ^{2}} )}{x ^{2} ( 2 + \frac{5}{x} )} = x \to + \infty lim \frac{3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{2 + \frac{5}{x}} = \frac{3}{2}$

$d)$

Obliczamy granicę.

$x \to - \infty lim \frac{3 x ^{2} + 4 x + 1}{2 x ^{2} + 5 x} = x \to - \infty lim \frac{x ^{2} ( 3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x ^{2}} )}{x ^{2} ( 2 + \frac{5}{x} )} = x \to - \infty lim \frac{3 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{2 + \frac{5}{x}} = \frac{3}{2}$

$e)$

Obliczamy granicę.

$x \to - \infty lim \frac{2 x ^{3}}{( x - 1 ) ^{2}} = x \to - \infty lim \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 2 x + 1} = x \to - \infty lim \frac{x ^{2} \cdot 2 x}{x ^{2} ( 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x ^{2}} )} = x \to - \infty lim \frac{2 x}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x ^{2}}} =$

$= [\frac{- \infty}{1}] = - \infty$

$f)$

Obliczamy granicę.

$x \to - \infty lim \frac{x - 1}{x ^{2} + 1} = x \to - \infty lim \frac{x ^{2} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}} )}{x ^{2} ( 1 + \frac{1}{x ^{2}} )} = x \to - \infty lim \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}}}{1 + \frac{1}{x ^{2}}} = \frac{0}{1} = 0$

$g)$

Obliczamy granicę.

$x \to - \infty lim \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 4} = x \to - \infty lim \frac{x ^{2} ( 1 - \frac{1}{x ^{2}} )}{x ^{2} ( 1 + \frac{4}{x ^{2}} )} = x \to - \infty lim \frac{1 - \frac{1}{x ^{2}}}{1 + \frac{4}{x ^{2}}} = \frac{1}{1} = 1$

$h)$

Obliczamy granicę.

$x \to + \infty lim \frac{x x}{x - 1} = x \to + \infty lim \frac{x \cdot x}{x ( 1 - \frac{1}{x} )} = x \to + \infty lim \frac{x}{1 - \frac{1}{x}} = [\frac{+ \infty}{1}] = + \infty$

$i)$

Obliczamy granicę.

$x \to - \infty lim \frac{x ^{3} - x ^{2}}{1 - x} = x \to - \infty lim \frac{x ^{2} ( x - 1 )}{- ( x - 1 )} = x \to - \infty lim \frac{x ^{2} ( x - 1 )}{- ( x - 1 )} = x \to - \infty lim \frac{x ^{2}}{- 1} = [\frac{+ \infty}{- 1}] = - \infty$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.