Dziedziną funkcji  $f$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb -2 oraz 2, czyli

$D_f=\mathbb{R}\text{}\left\{-2,2\right\}.$  

---

Wyznaczamy pochodną funkcji  $f.$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(\frac{-x^2}{x^2-4}\right){}^{\prime }=\frac{\left(-x^2\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2-4\right)-\left(-x^2\right)\cdot \left(x^2-4\right){}^{\prime }}{{\left(x^2-4\right)}^2}=\frac{-2x\cdot \left(x^2-4\right)+x^2\cdot 2x}{{\left(x^2-4\right)}^2}=\frac{-2x^3+8x+2x^3}{{\left(x^2-4\right)}^2}=\frac{8x}{{\left(x^2-4\right)}^2}$  

Dziedziną pochodnej funkcji  $f$  jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb -2 oraz 2, czyli

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}\text{}\left\{-2,2\right\}.$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)>0.$  

$\frac{8x}{{\left(x^2-4\right)}^2}>0\mid \cdot {\left(x^2-4\right)}^2$  

$8x>0\mid :8$  

$x>0$  

$x\in \left(0;2\right)\cup \left(2;+\infty \right)$  

Funkcja  $f$  jest rosnąca w przedziałach  $\left(0;2\right)$  oraz  $\left(2;+\infty \right).$  

Rozwiązujemy nierówność  $f{}^{\prime }\left(x\right)<0.$  

$\frac{8x}{{\left(x^2-4\right)}^2}<0\mid \cdot {\left(x^2-4\right)}^2$  

$8x<0\mid :8$  

$x<0$  

$x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(-2;0\right)$  

Funkcja  $f$  jest malejąca w przedziałach  $\left(-\infty ;-2\right)$  oraz  $\left(-2;+\infty \right).$  

---

Wyznaczamy granice funkcji na krańcach przedziałów określoności i asymptoty.

Wyznaczamy granice w  $-\infty$  oraz w  $+\infty .$  

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x^2}{x^2-4}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x^2}{x^2\left(1-\frac{4}{x^2}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-1}{1-\frac{4}{x^2}}=\frac{-1}{1}=-1$  

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x^2}{x^2-4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x^2}{x^2\left(1-\frac{4}{x^2}\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{1-\frac{4}{x^2}}=\frac{-1}{1}=-1$  

Funkcja  $f$  ma w  $-\infty$  oraz  $+\infty$  granice równe -1, zatem prosta o równaniu  $y=-1$  jest jednocześnie asymptotą poziomą lewostronną i prawostronną wykresu funkcji  $f$ , a więc jest asymptotą poziomą wykresu tej funkcji.

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=-2.$  

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{-x^2}{x^2-4}=\left[\frac{-{\left(-2\right)}^2}{0^{+}}\right]=\left[\frac{-4}{0^{+}}\right]=-\infty$  

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{-x^2}{x^2-4}=\left[\frac{-{\left(-2\right)}^2}{0^{-}}\right]=\left[\frac{-4}{0^{-}}\right]=+\infty$  

Zauważmy, że gdy  $x$  "dąży do -2" z lewej strony  $\left(x\to -2^{-}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2-4$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi, natomiast, gdy  $x$  "dąży do -2" z prawej strony  $\left(x\to -2^{+}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2-4$  "dążą do 0", będąc stale liczbami ujemnymi.

W punkcie  $x_0=-2$  funkcja  $f$  ma granice jednostronne niewłaściwe, zatem prosta  $x=-2$  jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$  

Wyznaczamy granice jednostronne funkcji  $f$  w punkcie  $x_0=2.$  

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{-x^2}{x^2-4}=\left[\frac{-2^2}{0^{-}}\right]=\left[\frac{-4}{0^{-}}\right]=+\infty$  

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{-x^2}{x^2-4}=\left[\frac{-2^2}{0^{+}}\right]=\left[\frac{-4}{0^{+}}\right]=-\infty$  

Zauważmy, że gdy  $x$  "dąży do 2" z lewej strony  $\left(x\to 2^{-}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2-4$  "dążą do 0", będąc stale liczbami ujemnymi, natomiast, gdy  $x$  "dąży do 2" z prawej strony  $\left(x\to 2^{+}\right),$  wartości wyrażenia  $x^2-4$  "dążą do 0", będąc stale liczbami dodatnimi.

W punkcie  $x_0=2$  funkcja  $f$  ma granice jednostronne niewłaściwe, zatem prosta  $x=2$  jest asymptotą pionową wykresu funkcji  $f.$