W trzech klasach maturalnych ...- Zadanie 5: Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Obliczamy, ile osób przystąpiło do próbnej matury z matematyki w poszczególnych klasach.

klasa IIIa: $4 + 5 + 7 + 5 + 3 + 2 + 5 + 1 = 32$
klasa IIIb: $1 + 1 + 4 + 2 + 7 + 4 + 6 + 2 + 3 + 1 = 31$
klasa IIIc: $1 + 3 + 6 + 4 + 8 + 5 + 3 + 1 = 31$

Łączna liczba uczniów z tych trzech klas to:

$32 + 31 + 31 = 94$

$O d p . 94 uczni \overset{o}{ˊ} w .$

b) Średnia liczba punktów dla przedziału ⟨0;5) to 2,5, dla przedziału ⟨5;10) to 7,5, itd.

Obliczamy średnią wyników w klasie IIIa.

$\overline{x} = \frac{4 \cdot 7 , 5 + 5 \cdot 12 , 5 + 7 \cdot 17 , 5 + 5 \cdot 22 , 5 + 3 \cdot 27 , 5 + 2 \cdot 32 , 5 + 5 \cdot 37 , 5 + 1 \cdot 42 , 5}{32} =$

$= \frac{30 + 62 , 5 + 122 , 5 + 112 , 5 + 82 , 5 + 65 + 187 , 5 + 42 , 5}{32} =$

$= \frac{705}{32} \approx$

$\approx 22, 03$

Obliczamy odchylenie standardowe dla klasy IIIa.

$δ = \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - (\overline{x})^{2} =$

$= \frac{4 \cdot 7 , 5 ^{2} + 5 \cdot 12 , 5 ^{2} + 7 \cdot 17 , 5 ^{2} + 5 \cdot 22 , 5 ^{2} + 3 \cdot 27 , 5 ^{2} + 2 \cdot 32 , 5 ^{2} + 5 \cdot 37 , 5 ^{2} + 42 , 5 ^{2}}{32} - (22, 03)^{2} =$

$= \frac{4 \cdot 56 , 25 + 5 \cdot 156 , 25 + 7 \cdot 306 , 25 + 5 \cdot 506 , 25 + 3 \cdot 756 , 25 + 2 \cdot 1056 , 25 + 5 \cdot 1406 , 25 + 1806 , 25}{32} - 485, 3209 =$

$= \frac{225 + 781 , 25 + 2143 , 75 + 2531 , 25 + 2268 , 75 + 2112 , 5 + 7031 , 25 + 1806 , 25}{32} - 485, 3209 =$

$= \frac{18900}{32} - 485, 3209 =$

$= 590, 625 - 485, 3209 =$

$= 105, 3041 \approx$

$\approx 10, 26$

Obliczamy średnią wyników w klasie IIIb.

$\overline{x} = \frac{1 \cdot 2 , 5 + 1 \cdot 7 , 5 + 4 \cdot 12 , 5 + 2 \cdot 17 , 5 + 7 \cdot 22 , 5 + 4 \cdot 27 , 5 + 6 \cdot 32 , 5 + 2 \cdot 37 , 5 + 3 \cdot 42 , 5 + 1 \cdot 47 , 5}{31} =$

$= \frac{2 , 5 + 7 , 5 + 50 + 35 + 157 , 5 + 110 + 195 + 75 + 127 , 5 + 47 , 5}{31} =$

$= \frac{807 , 5}{31} \approx$

$\approx 26, 05$

Obliczmy odchylenie standardowe dla klasy IIIb.

$δ = \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - (\overline{x})^{2} =$

$= \frac{2 , 5 ^{2} + 7 , 5 ^{2} + 4 \cdot 12 , 5 ^{2} + 2 \cdot 17 , 5 ^{2} + 7 \cdot 22 , 5 ^{2} + 4 \cdot 27 , 5 ^{2} + 6 \cdot 32 , 5 ^{2} + 2 \cdot 37 , 5 ^{2} + 3 \cdot 42 , 5 ^{2} + 47 , 5 ^{2}}{31} - 26, 05^{2} =$

$= \frac{6 , 25 + 56 , 25 + 4 \cdot 156 , 25 + 2 \cdot 306 , 25 + 7 \cdot 506 , 25 + 4 \cdot 756 , 25 + 6 \cdot 1056 , 25 + 2 \cdot 1406 , 25 + 3 \cdot 1806 , 25 + 2256 , 25}{31} - 678, 6025 =$

$= \frac{6 , 25 + 56 , 25 + 625 + 612 , 5 + 3543 , 75 + 3025 + 6337 , 5 + 2812 , 5 + 5418 , 75 + 2256 , 25}{31} - 678, 6025 =$

$= \frac{24693 , 75}{31} - 678, 6025 \approx$

$\approx 796, 57 - 678, 60 =$

$= 117, 97 \approx$

$\approx 10, 86$

Obliczamy średnią wyników w klasie IIIc.

$\overline{x} = \frac{1 \cdot 2 , 5 + 3 \cdot 12 , 5 + 6 \cdot 17 , 5 + 4 \cdot 22 , 5 + 8 \cdot 27 , 5 + 5 \cdot 32 , 5 + 3 \cdot 37 , 5 + 1 \cdot 42 , 5}{31} =$

$= \frac{2 , 5 + 37 , 5 + 105 + 90 + 220 + 162 , 5 + 112 , 5 + 42 , 5}{31} =$

$= \frac{772 , 5}{31} \approx$

$\approx 24, 92$

Obliczmy odchylenie standardowe dla klasy IIIc.

$δ = \frac{x _{1}^{2} + x _{2}^{2} + \dots + x _{n}^{2}}{n} - (\overline{x})^{2} =$

$= \frac{2 , 5 ^{2} + 3 \cdot 12 , 5 ^{2} + 6 \cdot 17 , 5 ^{2} + 4 \cdot 22 , 5 ^{2} + 8 \cdot 27 , 5 ^{2} + 5 \cdot 32 , 5 ^{2} + 3 \cdot 37 , 5 ^{2} + 42 , 5 ^{2}}{31} - 24, 92^{2} =$

$= \frac{6 , 25 + 3 \cdot 156 , 25 + 6 \cdot 306 , 25 + 4 \cdot 506 , 25 + 8 \cdot 756 , 25 + 5 \cdot 1056 , 25 + 3 \cdot 1406 , 25 + 1806 , 25}{31} - 621, 0064 =$

$= \frac{6 , 25 + 468 , 75 + 1837 , 5 + 2025 + 6050 + 5281 , 25 + 4218 , 75 + 1806 , 25}{31} - 621, 0064 =$

$= \frac{21693 , 75}{31} - 621, 0064 \approx$

$\approx 699, 80 - 621, 01 =$

$= 78, 79 \approx$

$\approx 8, 88$

$O d p . IIIa : \overline{x} \approx 22, 03, δ \approx 10, 26, IIIb : \overline{x} \approx 26, 05, δ \approx 10, 86, IIIc : \overline{x} \approx 24, 92, δ \approx 8, 88 .$

Uwaga! Odpowiedź podana w książce jest błędna - odchylenie standardowe dla klasy IIIb).

Najlepiej wypadła klasa IIIb.

c) Obliczamy, ile punktów to 30% liczby wszystkich punktów.

$30 % \cdot 50 = \frac{30}{100} \cdot 50 = \frac{30}{2} = 15$

Obliczamy, ile procent uczniów klasy IIIa uzyskało mniej niż 15 punktów.

$\frac{4 + 5}{32} \cdot 100 % = \frac{9}{32} \cdot 100 % = \frac{900}{32} % \approx 28, 13 %$

Obliczamy, ile procent uczniów klasy IIIb uzyskało mniej niż 15 punktów.

$\frac{1 + 1 + 4}{31} \cdot 100 % = \frac{6}{31} \cdot 100 % = \frac{600}{31} % \approx 19, 35 %$

Obliczamy, ile procent uczniów klasy IIIc uzyskało mniej niż 15 punktów.

$\frac{1 + 3}{31} \cdot 100 % = \frac{4}{31} \cdot 100 % = \frac{400}{31} % \approx 12, 90 %$

$O d p . IIIa : ok . 28, 13 %, IIIb : ok . 18, 35 %, IIIc : ok . 12, 9 %.$

d) Obliczamy średni wynik w tej szkole.

$\frac{705 + 807 , 5 + 772 , 5}{32 + 31 + 31} = \frac{2285}{94} \approx 24, 31$

$O d p . ok . 24, 31 pkt .$

e) Obliczamy, jaki procent wszystkich uczniów stanowią uczniowie z wynikiem pozytywnym.

$\frac{( 7 + 5 + 3 + 2 + 5 + 1 ) + ( 2 + 7 + 4 + 6 + 2 + 3 + 1 ) + ( 6 + 4 + 8 + 5 + 3 + 1 )}{32 + 31 + 31} \cdot 100 % =$

$= \frac{23 + 25 + 27}{94} \cdot 100 % =$

$= \frac{75}{94} \cdot 100 % =$

$= \frac{7500}{94} % \approx$

$\approx 79, 79 %$

$O d p . ok . 79, 79 %.$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.