Współczynnik kierunkowy funkcji liniowej to tangens kąta nachylenia prostej będącej wykresem tej funkcji do osi x. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy a prostej AB.

$a=\text{tg}{135}^{\circ }=\text{tg}\left({180}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)=-\text{tg}{45}^{\circ }=-1$  

Prosta ta przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0, -2). Przypomnijmy, że prosta będąca wykresem funkcji liniowej y=ax+b przecina oś y w punkcie (0, b). Wobec tego:

$b=-2$  

Prosta AB dana jest wzorem:

$y=-x-2$  

Równanie prostej AB zapiszemy w postaci ogólnej.

$y=-x-2\mid +x$  

$x+y=-2\mid +2$  

$x+y+2=0$  

---

Wyznaczamy odległość punktu C od prostej AB, czyli długość wysokości trójkąta ABC.

$h=\frac{\left|A{x}_C+B{y}_C+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|1\cdot 0+1\cdot 5+2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\left|0+5+2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$  

---

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy długość odcinka AB.

${\left(\frac{\left|AB\right|}{2}\right)}^2+h^2={\left|AC\right|}^2$  

$\frac{{\left|AB\right|}^2}{4}+{\left(\frac{7\sqrt{2}}{2}\right)}^2={\left(\sqrt{29}\right)}^2$  

$\frac{{\left|AB\right|}^2}{4}+\frac{49\cdot 2}{4}=29\mid \cdot 4$  

${\left|AB\right|}^2+98=116\mid -98$  

${\left|AB\right|}^2=18$  

$\left|AB\right|=\sqrt{18}$  

$\left|AB\right|=3\sqrt{2}$  

---

Obliczamy pole trójkąta ABC.

$P_{ABC}=\frac{\left|AB\right|\cdot h}{2}=\frac{3\sqrt{2}\cdot \frac{7\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{\frac{3\cdot 7\cdot 2}{2}}{2}=\frac{3\cdot 7}{2}=\frac{21}{2}=10\frac{1}{2}$  

---

Wyznaczamy współrzędne A i B tego trójkąta.

Te punkty znajdują się na prostej y=-x-2, zatem są postaci: 

$\left(x,-x-2\right)$  

Wiemy również, że:

$\left|AC\right|=\left|BC\right|=\sqrt{29}$  

Wobec tego:

$\sqrt{{\left(0-x\right)}^2+{\left(5-\left(-x-2\right)\right)}^2}=\sqrt{29}\mid {\left(\dots \right)}^2$  

${\left(-x\right)}^2+{\left(5+x+2\right)}^2=29$  

$x^2+{\left(7+x\right)}^2=29$  

$x^2+49+14x+x^2=29\mid -29$  

$2x^2+14x+20=0\mid :2$  

$x^2+7x+10=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyznaczamy jego pierwiastki.

$\Delta =7^2-4\cdot 1\cdot 10=49-40=9$  

$x_1=\frac{-7-\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{-7-3}{2}=\frac{-10}{2}=-5$  

$x_2=\frac{-7+\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{-7+3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

Wyznaczamy drugie współrzędne szukanych punktów.

$\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=-x-2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-x-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=-\left(-5\right)-2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-\left(-2\right)-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=5-2\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=2-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=0\end{array}$  

Wobec tego:

$A=\left(-5,3\right),B=\left(-2,0\right)\text{lub}A=\left(-2,0\right),B=\left(-5,3\right)$  

Przyjmijmy, że:

$A=\left(-5,3\right),B=\left(-2,0\right)$  

Mamy więc:

$A=\left(-5,3\right),B=\left(-2,0\right),C=\left(0,5\right)$  

---

Punkt P', który jest symetryczny do punktu P=(x, y) względem punktu (0, 0), ma współrzędne P'=(-x, -y). Wyznaczamy współrzędne wierzchołków trójkąta A₁B₁C₁ symetrycznego do trójkąta ABC względem początku układu współrzędnych. 

$A_1=\left(-x_A,-y_A\right)=\left(-\left(-5\right),-3\right)=\left(5,-3\right)$  

$B_1=\left(-x_B,-y_B\right)=\left(-\left(-2\right),0\right)=\left(2,0\right)$  

$C_1=\left(-x_C,-y_C\right)=\left(0,-5\right)$  

---

Rysunek pomocniczy: