Podstawą trójkąta jest odcinek AB ...- Zadanie 16: Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Wyznaczymy najpierw współrzędne punktu A wiedząc, że punkt D jest środkiem odcinka AB.

$D = (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$

Stąd otrzymujemy, że:

$(2, 0) = (\frac{x _{A} + 5}{2}, \frac{y _{A} + 1}{2})$

Wobec tego:

${2 = \frac{x _{A} + 5}{2} ∣ \cdot 2 0 = \frac{y _{A} + 1}{2} ∣ \cdot 2$

${4 = x_{A} + 5 ∣ - 5 0 = y_{A} + 1 ∣ - 1$

${- 1 = x_{A} - 1 = y_{A}$

${x_{A} = - 1 y_{A} = - 1$

Zatem:

$A = (- 1, - 1)$

Wyznaczamy teraz współrzędne punktu przecięcia prostych y=-2x+11 i 5x-y-10=0, czyli współrzędne punktu C.

${y = - 2 x + 11 5 x - y - 10 = 0$

${y = - 2 x + 11 5 x - (- 2 x + 11) - 10 = 0$

${y = - 2 x + 11 5 x + 2 x - 11 - 10 = 0$

${y = - 2 x + 11 7 x - 21 = 0 ∣ + 21$

${y = - 2 x + 11 7 x = 21 ∣ : 7$

${y = - 2 x + 11 x = 3$

${y = - 2 \cdot 3 + 11 x = 3$

${y = 5 x = 3$

${x = 3 y = 5$

Stąd mamy:

$C = (3, 5)$

Wyznaczymy jeszcze równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka B (równanie prostej prostopadłej do prostej AC przechodzącej przez punkt B).

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AC.

$a_{A C} = \frac{y _{C} - y _{A}}{x _{C} - x _{A}} = \frac{5 - ( - 1 )}{3 - ( - 1 )} = \frac{5 + 1}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy a prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka B.

$a_{A C} \cdot a = - 1$

$\frac{3}{2} \cdot a = - 1 ∣ \cdot \frac{2}{3}$

$a = - \frac{2}{3}$

Równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka B możemy więc zapisać w postaci:

$y = - \frac{2}{3} x + b$

Do powyższego wzoru wstawiamy współrzędne punktu B i wyznaczamy wyraz wolny b.

$1 = - \frac{2}{3} \cdot 5 + b$

$1 = - \frac{10}{3} + b ∣ + \frac{10}{3}$

$\frac{13}{3} = b$

Stąd otrzymujemy, że:

$y = - \frac{2}{3} x + \frac{13}{3}$

Równanie tej prostej zapiszemy w postaci ogólnej.

$y = - \frac{2}{3} x + \frac{13}{3} ∣ \cdot 3$

$3 y = - 2 x + 13 ∣ + 2 x$

$2 x + 3 y = 13 ∣ - 13$

$2 x + 3 y - 13 = 0$

Zatem:

$h : 2 x + 3 y - 13 = 0$

Rysunek pomocniczy:

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.