a)  $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ y=\left|x\right|\end{array}$  

Rozwiązanie algebraiczne

Z definicji wartości bezwzględnej otrzymujemy:

$\left|x\right|=\{\begin{array}{l}x\text{dla}x\ge 0\\ -x\text{dla}x<0\end{array}$  

Do rozważenia mamy więc dwa przypadki:

$\left(1\right)x<0$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ y=-x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{\left(-x\right)}^2=25\\ y=-x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+x^2=25\\ y=-x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x^2=25\mid :2\\ y=-x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{25}{2}\\ y=-x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|=\sqrt{\frac{25}{2}}\\ y=-x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|=\frac{5}{\sqrt{2}}\\ y=-x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=-x\end{array}$  

Wobec tego:

$\{\begin{array}{l}x=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=-x\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=-x\end{array}$  

Odrzucamy pierwsze rozwiązanie, ponieważ liczba x ma być mniejsza od 0.

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=-x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=-\left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{5\sqrt{2}}{2}\end{array}$  

$\left(2\right)x\ge 0$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ y=x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+x^2=25\\ y=x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2+x^2=25\\ y=x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x^2=25\mid :2\\ y=x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{25}{2}\\ y=x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|=\sqrt{\frac{25}{2}}\\ y=x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|=\frac{5}{\sqrt{2}}\\ y=x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=x\end{array}$  

Wobec tego:

$\{\begin{array}{l}x=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=-x\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=-x\end{array}$  

Odrzucamy drugie rozwiązanie, ponieważ liczba x ma być większa lub równa 0.

$\{\begin{array}{l}x=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{5\sqrt{2}}{2}\end{array}$  

Stąd otrzymujemy, że:

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{5\sqrt{2}}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{5\sqrt{2}}{2}\end{array}$  

Rozwiązanie graficzne

Pierwsza równość opisuje okrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 5.

Druga równość przedstawia funkcję y=|x|, której wykres powstał przez symetryczne odbicie względem osi OX tej części wykresu funkcji y=x, która znajduje się pod osią OX.

Dany układ nierówności spełniają punkty (x, y), których współrzędne spełniają jednocześnie warunki x²+y²=25 i y=|x| (punkty wspólne zaznaczonych obiektów).

---

b)  $\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}$  

Rozwiązanie algebraiczne

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}-1\right)}^2=4\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{3}{2}\right)}^2=4\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+1+\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2-\frac{1}{2}{x}^3+x^2+\frac{3}{2}x-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}=4\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}{x}^4-x^3+\frac{2}{4}{x}^2+x+\frac{13}{4}=4\mid \cdot 4\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^4-4x^3+2x^2+4x+13=16\mid -16\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^4-4x^3+2x^2+4x-3=0\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}$  

Na czynniki rozkładamy wielomian znajdujący się w pierwszym równaniu. Stosujemy metodę grupowania wyrazów.

$x^4-4x^3+2x^2+4x-3=$  

$=x^4-x^3-3x^3+3x^2-x^2+x+3x-3=$  

$=x^3\left(x-1\right)-3x^2\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)=$  

$=\left(x-1\right)\left(x^3-3x^2-x+3\right)=$  

$=\left(x-1\right)\left(x^3+x^2-4x^2-4x+3x+3\right)=$  

$=\left(x-1\right)\left[x^2\left(x+1\right)-4x\left(x+1\right)+3\left(x+1\right)\right]=$  

$=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4x+3\right)=$  

$=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x-3x+3\right)=$  

$=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left[x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)\right]=$  

$=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)=$  

$={\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)\left(x-3\right)$  

Powyższy układ równań możemy więc zapisać w postaci:

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}$  

Iloczyn trzech liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0, zatem:

$\{\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2=0\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x+1=0\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x-3=0\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x-1=0\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\frac{1}{2}{x}^2-x-\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\frac{1}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)-\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{1}{2}\cdot 3^2-3-\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\frac{1}{2}\cdot 1^2-1-\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{1}{2}\cdot 9-3\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\frac{1}{2}\cdot 1-1\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{9}{2}-3\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\frac{1}{2}-1\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\frac{1}{2}-3\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}$  

Rozwiązanie graficzne

Pierwsza równość opisuje okrąg o środku w punkcie (1, 1) i promieniu 2.

Druga równość przedstawia parabolę. Zanim naszkicujemy tę parabolę, wyznaczymy współrzędne jej punktów szczególnych.

Miejsca zerowe:

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=1+1=2$  

$x_1=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{2}}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1-\sqrt{2}}{1}=1-\sqrt{2}\approx -0,4$  

$x_2=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{2}}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{1}=1+\sqrt{2}\approx 2,4$  

Punkt przecięcia z osią y:

$y=\frac{1}{2}\cdot 0^2-0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$  

$\left(0,-\frac{1}{2}\right)$  

Wierzchołek:

$p=-\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1}{1}=1$  

$q=-\frac{2}{4\cdot \frac{1}{2}}=-\frac{2}{2}=-1$  

Dany układ nierówności spełniają punkty (x, y), których współrzędne spełniają jednocześnie warunki (x-1)²+(y-1)²=4 i y=1/2 x²-x-1/2 (punkty wspólne zaznaczonych obiektów).