Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

 

---

Odcinek AD to środkowa poprowadzona z wierzchołka A, zatem:

$\left|BD\right|=\left|DC\right|$  

---

Proste przechodzące przez punkty B i E oraz C i F to proste prostopadłe do środkowej AD.

---

Kąty BDE i CDF to kąty wierzchołkowe, więc:

$\left|\sphericalangle BDE\right|=\left|\sphericalangle CDF\right|$  

---

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180^o, zatem:

$\left|\sphericalangle DBE\right|={180}^{\circ }-\left(\left|\sphericalangle BDE\right|+{90}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-\left(\left|\sphericalangle CDF\right|+{90}^{\circ }\right)=\left|\sphericalangle DCF\right|$  

---

Trójkąty ADE i BDF są przystające na podstawie cechy przystawania trójkątów kąt-bok-kąt.

$\ast \left|\sphericalangle BDE\right|=\left|\sphericalangle CDF\right|$  

$\ast \left|BD\right|=\left|DC\right|$  

$\ast \left|\sphericalangle DBE\right|=\left|\sphericalangle DCF\right|$  

---

Stąd otrzymujemy, że:

$\left|BE\right|=\left|FC\right|$  

Zatem wierzchołki B i C trójkąta ABC są jednakowo odległe od środkowej AD.

Co należało dowieść.