Rozwiąż nierówność ...- Zadanie 37: Matematyka poznać, zrozumieć 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

a) Podstawnie pomocnicze:

$3 x = t$

Mamy więc:

$cos t < - \frac{1}{2}$

Naszkicujemy wykres funkcji cosinus i prostą y=-1/2.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$t \in (\frac{2 π}{3} + 2 k π; \frac{4 π}{3} + 2 k π), k \in C$

Zatem:

$3 x \in (\frac{2 π}{3} + 2 k π; \frac{4 π}{3} + 2 k π), k \in C$

$x \in (\frac{2 π}{9} + \frac{2 k π}{3}; \frac{4 π}{9} + \frac{2 k π}{3}), k \in C$

b) Dzielimy obie strony nierówności przez 2.

$2 sin^{2} x < 1 ∣ : 2$

$sin^{2} x < \frac{1}{2}$

Pierwiastkujemy obie strony nierówności.

$∣ sin x ∣ < \frac{1}{2}$

$∣ sin x ∣ < \frac{2}{2}$

Stąd otrzymujemy, że:

$sin x < \frac{2}{2} \land sin x > - \frac{2}{2}$

Zajmijmy się najpierw nierównością pierwszą.

$sin x < \frac{2}{2}$

Naszkicujemy wykres funkcji sinus i prostą y=√2/2.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$x \in (- \frac{5 π}{4} + 2 k π; \frac{π}{4} + 2 k π), k \in C$

Rozwiążemy teraz nierówność drugą.

$sin x > - \frac{2}{2}$

Naszkicujemy wykres funkcji sinus i prostą y=-√2/2.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$x \in (- \frac{π}{4} + 2 k π; \frac{5 π}{4} + 2 k π), k \in C$

Wobec tego:

$x \in (- \frac{π}{4} + 2 k π; \frac{π}{4} + 2 k π), k \in C$

c) Podstawienie pomocnicze:

$cos x = t, t \in ⟨ - 1; 1 ⟩$

Mamy więc:

$t^{2} - t < 0$

$t (t - 1) < 0$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji y=t(t-1).

Z rysunku odczytujemy rozwiązania nierówności.

$t \in (0; 1)$

Wobec tego:

$cos x \in (0; 1)$

Czyli:

$0 < cos x < 1$

Naszkicujemy wykres funkcji cosinus i proste y=0 oraz y=1.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$x \in (- \frac{π}{2} + 2 k π; 2 k π) \cup (2 k π; \frac{π}{2} + 2 k π), k \in C$

$x \in (- \frac{π}{2} + 2 k π; \frac{π}{2} + 2 k π) \ {2 k π}, k \in C$

d) Stałą przenosimy na prawą stronę.

$tg^{2} x - 1 \geq 0 ∣ + 1$

$tg^{2} x \geq 1$

Pierwiastkujemy obie strony nierówności.

$∣ tg x ∣ \geq 1$

Stąd otrzymujemy, że:

$tg x \geq 1 \lor tg x \leq - 1$

Zajmijmy się najpierw nierównością pierwszą.

$tg x \geq 1$

Naszkicujemy wykres funkcji tangens i prostą y=1.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$x \in ⟨ \frac{π}{4} + 2 k π; \frac{π}{2} + 2 k π), k \in C$

Rozwiążemy teraz nierówność drugą.

$tg x \leq - 1$

Naszkicujemy wykres funkcji tangens i prostą y=-1.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$x \in (- \frac{π}{2} + 2 k π; - \frac{π}{4} + 2 k π ⟩, k \in C$

Wobec tego:

$x \in (- \frac{π}{2} + 2 k π; - \frac{π}{4} + 2 k π ⟩ \cup ⟨ \frac{π}{4} + 2 k π; \frac{π}{2} + 2 k π), k \in C$

e) Podstawnie pomocnicze:

$2 x + \frac{π}{4} = t$

Mamy więc:

$cos t \leq \frac{3}{2}$

Naszkicujemy wykres funkcji cosinus i prostą y=√3/2.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$t \in ⟨ \frac{π}{6} + 2 k π; \frac{11 π}{6} + 2 k π ⟩, k \in C$

Zatem:

$2 x + \frac{π}{4} \in ⟨ \frac{π}{6} + 2 k π; \frac{11 π}{6} + 2 k π ⟩, k \in C$

$2 x \in ⟨ \frac{π}{6} - \frac{π}{4} + 2 k π; \frac{11 π}{6} - \frac{π}{4} + 2 k π ⟩, k \in C$

$2 x \in ⟨ \frac{2 π}{12} - \frac{3 π}{12} + 2 k π; \frac{22 π}{12} - \frac{3 π}{12} + 2 k π ⟩, k \in C$

$2 x \in ⟨ - \frac{π}{12} + 2 k π; \frac{19 π}{12} + 2 k π ⟩, k \in C$

$x \in ⟨ - \frac{π}{24} + k π; \frac{19 π}{24} + k π ⟩, k \in C$

f) Naszkicujemy wykresy funkcji cosinus i sinus.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$x \in (\frac{π}{4} + 2 k π; \frac{5 π}{4} + 2 k π), k \in C$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.