Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

 

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość h. 

$\frac{h}{10}=\sin {30}^{\circ }\mid \cdot 10$  

$h=10\cdot \sin {30}^{\circ }$  

$h=10\cdot \frac{1}{2}$  

$h=5\left[\text{cm}\right]$  

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość a. 

$\frac{\frac{1}{2}a}{10}=\cos {30}^{\circ }\mid \cdot 10$  

$\frac{1}{2}a=10\cdot \cos {30}^2\mid \cdot 2$  

$a=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$  

$a=10\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

Obliczamy obwód tego trójkąta.

$L=2\cdot 10+a=20+10\sqrt{3}=10\left(2+\sqrt{3}\right)\left[\text{cm}\right]$  

Obliczamy pole tego trójkąta.

$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{10\sqrt{3}\cdot 5}{2}=25\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]$  

Obliczamy promień okręgu wpisanego w ten trójkąt, korzystając ze wzoru:

$P=p\cdot r$  

Mamy więc:

$25\sqrt{3}=\frac{10+10+a}{2}\cdot r$  

$25\sqrt{3}=\frac{20+10\sqrt{3}}{2}\cdot r$  

$25\sqrt{3}=\left(10+5\sqrt{3}\right)\cdot r$  

$25\sqrt{3}=5\left(2+\sqrt{3}\right)\cdot r\mid :5$  

$5\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)\cdot r\mid :\left(2+\sqrt{3}\right)$  

$\frac{5\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=r$  

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$r=\frac{5\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=\frac{5\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{5\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}=5\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)\left[\text{cm}\right]$  

Obliczamy pole okręgu opisanego na tym trójkącie, korzystając ze wzoru:

$P=\frac{abc}{4R}$  

Mamy więc:

$25\sqrt{3}=\frac{10\cdot 10\cdot 10\sqrt{3}}{4R}$  

$25\sqrt{3}=\frac{1000\sqrt{3}}{4R}$  

$25\sqrt{3}=\frac{250\sqrt{3}}{R}\mid \cdot R$  

$25\sqrt{3}\cdot R=250\sqrt{3}\mid :25\sqrt{3}$  

$R=10\left[\text{cm}\right]$