Liczby 1, a+1, b są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, zatem:

$a+1=\frac{1+b}{2}\mid \cdot 2$  

$2a+2=1+b\mid -1$     

$2a+1=b$  

 

Liczby b-1, a, b są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, więc:

$a^2=\left(b-1\right)\cdot b$   

Wobec tego:

$a^2=\left(2a+1-1\right)\left(2a+1\right)$   

$a^2=2a\left(2a+1\right)$   

$a^2=4a^2+2a\mid -a^2$  

$0=3a^2+2a$  

$0=a\left(3a+2\right)$  

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0, stąd:

$a=0\vee 3a+2=0$  

$a=0\vee 3a=-2$  

$a=0\vee a=-\frac{2}{3}$  

Do rozważenia mamy dwa przypadki:

$\left(1\right)a=0$  

Wyznaczamy wartość b.

$b=2\cdot 0+1=1$  

Wówczas:

(1, 1, 1) - ciąg arytmetyczny

(0, 0, 1) - ciąg geometryczny 

Ciąg (0, 0, 1) nie jest ciągiem geometrycznym, więc odrzucamy tę możliwość.

$\left(2\right)a=-\frac{2}{3}$  

Wyznaczamy wartość b.

$b=2\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+1=-\frac{4}{3}+1=-\frac{1}{3}$  

Wówczas:

$\left(1,\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)$   - ciąg arytmetyczny

$\left(-\frac{4}{3},-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$  - ciąg geometryczny

Zatem:

$\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{3}\\ b=-\frac{1}{3}\end{array}$